ARITMETICA E ALGEBRA Esercizi da pag. 137 7 Le proprietà delle operazioni Nei paragrafi precedenti abbiamo analizzato alcune operazioni che si possono eseguire negli insiemi numerici studiati, ma non abbiamo studiato le proprietà delle operazioni. In Fuori dagli schemi all inizio dell unità forse avrai intuito la loro importanza, ma ora è bene chiarire cosa significhi eseguire delle operazioni e quali siano le loro caratteristiche. 7.1 La definizione formale di operazione KEYWORDS K ooperazione / operator Una operazione in un insieme è una legge che a ogni coppia ordinata di elementi dell insieme (operandi) ne associa un altro, non necessariamente dell insieme considerato: il risultato. In altri termini è una relazione 2 1 ovvero una funzione 2 1. Se, comunque si scelgano i due elementi, il risultato appartiene all insieme, si dice che l insieme è chiuso rispetto all operazione: l operazione è in tale caso definita nell insieme. Per esempio, l insieme N dei numeri naturali è chiuso sia rispetto all addizione sia rispetto alla moltiplicazione. A ogni coppia ordinata di numeri naturali, l addizione associa, infatti, un numero naturale: la loro somma. Per esempio, alla coppia (3 ; 4) corrisponde 7 e si scrive, come sai: 3+4=7 Analogamente, la moltiplicazione associa a ogni coppia ordinata di numeri naturali, un numero naturale: il loro prodotto. Per esempio, alla coppia (3 ; 4) corrisponde 12 e si scrive, come sai: 3 4 = 12 Anche gli insiemi Z, Q e R sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione. L insieme N non è chiuso rispetto alle operazioni di sottrazione e di divisione. Esistono, infatti, coppie di numeri naturali la cui differenza, risultato della sottrazione, non appartiene a N. Per esempio, alla coppia (3 ; 4) nella sottrazione non corrisponde un numero naturale: il numero 1 è un numero intero, ma non è un numero naturale Analogamente, esistono coppie di numeri naturali il cui quoziente, risultato della divisione, non appartiene a N. 3 Per esempio, alla coppia (3 ; 4) nella divisione corrisponde __, che non è un nu4 mero naturale, ma una frazione. DEFINIZIONE In un insieme A è definita una operazione, che indichiamo con *, se per ogni coppia ordinata (a ; b) di elementi di A esiste un solo elemento c A, tale che: a*b=c 96