2 Insiemi numerici e operazioni elementari esempi O Nell insieme dei numeri naturali definiamo la relazione che associa a due numeri naturali a e b la loro concatenazione (conc) in modo che a conc b = ab cioè la sequenza costituita dal primo e dal secondo numero. possibile definirla una operazione? Sì perché il risultato è unico ed è ancora un numero naturale. Per esempio, se a = 123 e b = 987 risulta che a conc b = 123 conc 987 = 123 987 che è ancora un numero naturale. O Nell insieme P delle parole del dizionario della lingua italiana è data questa istruzione: «A ogni coppia ordinata di parole fai corrispondere la parola che si ottiene scrivendo di seguito la prima e la seconda . così definita una operazione nell insieme P? No, l operazione non è definita nell insieme P perché non sempre, scrivendo di seguito due parole del dizionario, se ne ottiene una terza anch essa appartenente alla lingua italiana. FISSA I CONCETTI Q Q Insieme chiuso rispetto a una operazione: comunque si scelgano i due elementi, il risultato appartiene all insieme. Operazione *: in un insieme A se per ogni coppia ordinata (a ; b) di elementi di A esiste un solo c A tale che c = a * b. 7.2 Le proprietà delle operazioni Dopo aver definito le operazioni nei diversi insiemi numerici analizziamone alcune proprietà caratteristiche ovvero: Q commutativa; Q associativa; Q distributiva. La proprietà commutativa Nell addizione e nella moltiplicazione non interessa l ordine dei numeri con cui si opera: 5+7=7+5 Lo stesso non può dirsi per altre operazioni, per esempio, nella sottrazione: a b diverso da b a Se è possibile cambiare l ordine dei due termini con cui si opera, si dice che per l operazione vale la proprietà commutativa. KEYWORDS K p proprietà commutativa / commutative property DEFINIZIONE Una operazione, indicata con *, definita in un insieme A, è commutativa se per ogni coppia ordinata (a ; b) di elementi di A abbiamo: a*b=b*a Un esempio di operazione non commutativa è la divisione in R. Per esempio: 4:2=2 mentre 2 : 4 = 0,5 Per verificare se una proprietà vale per una data operazione non è sufficiente verificare che essa sia soddisfatta in alcuni casi. Occorre individuare un criterio generale che permetta di affermare con certezza che essa lo sia per ogni possibile coppia ordinata di elementi dell insieme. Per affermare che una proprietà non vale è invece sufficiente trovare una coppia ordinata di elementi che non la soddisfi (cioè un controesempio). FISSA I CONCETTI a * b = b * a indica la proprietà commutativa dell operazione * se vale per ogni a e per ogni b elementi di A. 97