6.2 Le caratteristiche di R

2 Insiemi numerici e operazioni elementari DEFINIZIONE Un numero non razionale è detto numero irrazionale poiché non è possibile esprimerlo mediante una frazione. Un numero irrazionale che certamente conosci è , simbolo che indica il numero irrazionale le cui prime cifre sono 3,14159265 Anche questo numero nasce da un problema geometrico: una semicirconferenza di raggio 1 cm è lunga proprio cm. rappresenta il rapporto tra la misura della lunghezza di una circonferenza e il diametro della stessa. cm 1 cm FISSA I CONCETTI I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere scritti come frazioni perché sono numeri decimali illimitati non periodici. Costituiscono un insieme disgiunto rispetto a quello dei numeri razionali. Insieme formano l insieme dei numeri reali. 6.2 Le caratteristiche di R L insieme dei numeri razionali e quello dei numeri irrazionali formano complessivamente l insieme dei numeri reali. Tale insieme è indicato con la lettera R. KEYWORDS K nnumero reale / real number I numeri reali sono, perciò, tutti i numeri che si possono rappresentare in forma decimale. La parte decimale può essere: Q finita o periodica (e allora il numero n è razionale e si può scrivere come frazione, n Q); Q infinita senza alcuna periodicità (e allora il numero n è irrazionale, n I). Quindi possiamo scrivere: R = Q I Come per gli altri insiemi numerici, con R0 si indica l insieme dei numeri reali diversi da 0. L insieme R è un ampliamento dell insieme Q dei numeri razionali: R Z N razionali Q irrazionali I Anche l insieme R è un insieme infinito e totalmente ordinato: tra due diversi numeri reali è sempre possibile stabilire qual è il maggiore. Per quanto riguarda l ordinamento sulla retta, R è denso, come l insieme Q, ma, inoltre, R completa la retta. Infatti sulla retta è possibile rappresentare sia i numeri razionali, sia i numeri irrazionali. Inoltre non c è alcun punto della retta cui non corrisponda un numero reale. I numeri reali saranno approfonditi più avanti nel corso; per ora è sufficiente tenere bene a mente, quindi, che l insieme R non solo eredita tutte le proprietà di Q (infinitezza e ordinamento totale), ma ne acquisisce un altra: sulla retta è possibile rappresentare ogni numero reale (sia razionale, sia irrazionale) e, inoltre, a ogni suo punto corrisponde uno e un solo numero reale (razionale o irrazionale). FISSA I CONCETTI R è: Q infinito; Q totalmente ordinato; Q denso; Q completa la retta dei numeri. 95

Il Maraschini-Palma - volume 1
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