2 Insiemi numerici e operazioni elementari Quindi: 5 7 _ < _ 9 15 O Quale frazione occorre addizionare a ognuna delle seguenti per ottenere 1? 2 10 23 a. _ b. _ c. _ 5 31 100 La frazione cercata si ottiene, nei tre casi, sottraendo da 1 la frazione data. Riscrivendo 1 in modo equivalente otteniamo: 2 5 2 3 3 a. 1 _ = _ _ = _ la frazione cercata è _ 5 5 5 5 5 10 31 10 21 21 b. 1 _ = _ _ = _ la frazione cercata è _ 31 31 31 31 31 23 100 23 77 77 c. 1 _ = _ _ = _ la frazione cercata è _ 100 100 100 100 100 FISSA I CONCETTI Per confrontare due frazioni occorre trasformarle in frazioni equivalenti e con lo stesso denominatore. 5 L insieme dei numeri Esercizi da pag. 132 razionali: Q 5.1 Q come ampliamento di Z L equivalenza tra frazioni è una relazione di equivalenza: è cioè riflessiva, simmetrica e transitiva. Si può perciò considerare l insieme delle classi di equivalenza: tutte le infinite frazioni tra loro equivalenti appartengono alla stessa classe; frazioni tra loro non equivalenti appartengono a classi diverse (fig. a lato). Gli elementi che appartengono alla stessa classe di equivalenza rappresentano la stessa grandezza. Possiamo perciò dire che ogni classe rappresenta lo stesso numero. Tali numeri, ognuno dei quali si può rappresentare con infinite frazioni tra loro equivalenti, si chiamano numeri razionali. Un numero razionale è, perciò, una classe di frazioni equivalenti e, scritto in forma decimale, è finito o periodico. 1 2 4 8 3 2 4 6 5 10 4 6 4 2 9 3 12 6 9 12 15 3 6 8 Ogni classe di frazioni equivalenti rappresenta lo stesso numero razionale. KEYWORDS K n numero razionale / rational number L insieme dei numeri razionali è indicato con la lettera Q: Q = {classi di frazioni equivalenti} = {numeri decimali finiti o periodici} Esso è l unione dell insieme dei numeri razionali positivi (Q+), di 0 e dei numeri razionali negativi (Q ): Q = Q+ Q {0} Indichiamo con Q0 l insieme Q+ Q , cioè l insieme di tutti i numeri razionali diversi da 0. Tra le classi di frazioni equivalenti ci sono quelle in cui il numeratore è un multiplo del denominatore. Esse possono essere semplificate e sono equivalenti a frazioni con denominatore uguale a 1; quindi, sono identificate con i corrispondenti numeri interi. 91