5.2 L’ordinamento denso di Q

ARITMETICA E ALGEBRA Per esempio: 16 _ 2 _ = =2 12 4 _ = _ = 4 1 1 8 3 L insieme Q risulta così un ampliamento dell insieme Z dei numeri interi: N Z Q FISSA I CONCETTI Q Q Numero razionale: è una classe di frazioni equivalenti. Q = Q+ Q {0}: è l insieme dei numeri razionali. N Z Q Nell insieme Q dei numeri razionali è possibile effettuare le quattro operazioni fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per un numero diverso da 0. 5.2 L ordinamento denso di Q Anche l insieme Q è un insieme infinito e totalmente ordinato. A differenza di N e Z, l insieme dei numeri razionali non è però ordinato in modo discreto sulla retta: su di essa, dato un numero razionale, non si può cioè determinare il suo successivo. 1 Per esempio, quale potrebbe essere il successivo di _ = 0,5? 2 Si potrebbe pensare che sia 0,6. Non è però così perché, per esempio: 0,5 < 0,51 < 0,6 ma neppure 0,51 è il successivo di 0,5 perché, per esempio: 0,5 < 0,501 < 0,51 Il processo può continuare all infinito: si può sempre trovare un numero razionale maggiore di 0,5 e minore di quello precedentemente trovato. Dati due numeri razionali diversi esiste sempre almeno un numero razionale intermedio, per quanto essi siano stati scelti vicini. ATTENZIONE! A L media aritmetica m di due La numeri a e b è: a+b m=_ 2 Può essere scritta anche così: m = (a + b) : 2 oppure: 1 m = (a + b) _ 2 esempio 2 3 O Trova una frazione maggiore di _ e minore di _. 3 4 Si può considerare la media aritmetica delle due frazioni: 2 _ 3 _ 1 _ 17 _ 1 _ 17 _ ( 3 + 4 ) 2 = 12 2 = 24 3 2 17 La frazione _ è maggiore di _ e minore di _: 3 4 24 17 _ 2 _ 3 _ < < 3 24 4 FISSA I CONCETTI L insieme Q è un insieme: Q infinito; Q totalmente ordinato; Q denso; Q privo di primo elemento. 92 Un ordinamento di questo tipo, in cui dati due elementi distinti, quanto si vuole vicini, si trova sempre almeno un elemento intermedio, viene detto ordinamento denso. L insieme Q è perciò denso nell ordinamento sulla retta, che è l ordinamento naturale dei numeri.

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.