ARITMETICA E ALGEBRA O Completa le seguenti uguaglianze indicando il numeratore mancante, in modo da ottenere frazioni equivalenti. 4 a. _ = _ 9 18 Poiché 18 = 9 2, allora si deve moltiplicare per 2 anche 4 e il numeratore 8 4 mancante è 4 2 = 8. La frazione equivalente a _ è quindi _. 9 18 5 b. _ = _ 6 96 Il numeratore mancante è 80; infatti 96 = 6 16, quindi 5 16 = 80. Per ottenere rapidamente 80 si divide 96 per 6, ottenendo 16, e si moltiplica 16 per 80 5 5. La frazione equivalente a _ è quindi _. 6 96 APPROFONDIMENTO A U litro di acqua è equivalente, Un come quantità, a due mezzi litri; due mezzi litri di acqua sono equivalenti, come quantità, a quattro quarti di litri di acqua, : 1 1 1 1 1 1 1 = __ + __ = __ + __ + __ + __ 2 2 4 4 4 4 Tutte le infinite frazioni con il numeratore uguale al denominatore rappresentano una unità; sono, quindi, equivalenti a 1, per esempio: 2 _3 _4 _ = = = =1 2 3 4 a _ = 1 per ogni a 0 a Riscrivere una frazione come un altra a essa equivalente è utile per addizionare algebricamente due frazioni. Infatti, per eseguire tale operazione occorre che esse abbiano lo stesso denominatore pur rimanendo equivalenti alle due di partenza. Per fare ciò è sufficiente calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori. 7 11 Per esempio, per ridurre allo stesso denominatore le frazioni _ e _ procedia30 18 mo in questo modo: 1. scomponiamo in fattori i denominatori: 30 = 2 3 5 18 = 2 32 2. calcoliamo il loro minimo comune multiplo che ne rappresenta il denominatore comune: mcm (30, 18) = 2 32 5 = 90 quindi il denominatore comune a entrambe le nuove equazioni è 90. 3. Calcoliamo i rispettivi numeratori in modo da ottenere due frazioni equivalenti; dividiamo il denominatore comune per i due denominatori dati, otteniamo così i fattori per i quali moltiplicare i numeratori: 7 _ ... _ = 11 _ ... _ = 90 : 30 = 3 90 : 18 = 5 30 90 Q Q Q Due frazioni _a = _c sono b d equivalenti se e solo se a d = c b. Per ridurre ai minimi termini due frazioni si dividono numeratore e denominatore per il loro MCD. Per ridurre due frazioni allo stesso denominatore si calcolano le frazioni equivalenti di ognuna che hanno per denominatore il loro mcm. 88 90 4. moltiplichiamo i rispettivi numeratori per i fattori trovati, il primo per 3 e il secondo per 5 ottenendo così le frazioni equivalenti cercate: 3 5 7 _ 21 _ = FISSA I CONCETTI 18 30 90 11 _ 55 _ = 18 90 esempio 2 5 O Scrivi due frazioni, equivalenti rispettivamente a _ e a _, ma con denomina5 6 tore comune. Poiché il mcm (5, 6) = 30 otteniamo: 6 5 2 _ 2 12 _ = _=_ 5 _ 5 25 _ = _=_ 30 : 5 = 6 30 : 5 = 5 5 30 5 30 6 30 6 30