ARITMETICA E ALGEBRA Esercizi da pag. 114 1 L insieme dei numeri naturali: N 1.1 Le caratteristiche di N KEYWORDS K n numero naturale / natural number I primi numeri con cui hai operato sono i numeri naturali: 0, 1, 2, 3, 4, 5, Indichiamo l insieme dei numeri naturali con la lettera N. Costruiamo l insieme dei numeri naturali partendo da un primo elemento, lo zero, e consideriamo via via i numeri ottenuti aggiungendo 1: +1 +1 +1 +1 0 1 2 3 4 L insieme dei numeri naturali è infinito. Ogni nuovo numero via via trovato è maggiore di tutti i precedenti: tutti gli elementi di N sono allora confrontabili poiché, dati due distinti numeri naturali, possiamo sempre stabilire qual è il maggiore. L insieme dei numeri naturali risulta così totalmente ordinato. Un insieme è totalmente ordinato se è definita in esso una relazione d ordine ed è sempre possibile confrontare due suoi qualsiasi elementi: stabilire cioè chi viene prima e chi dopo in tale ordinamento. L ordinamento dei numeri naturali ha un altra caratteristica importante: ogni numero ha un suo immediato successivo. Il successivo di 0 è 1, il successivo di 1 è 2 e così via e tra i due numeri successivi non ce ne sono altri. Un insieme il cui ordinamento ha questa caratteristica viene detto ordinato in modo discreto. APPROFONDIMENTO A U insieme numerico finito è Un sempre discreto. Infatti i suoi elementi possono essere ordinati in modo tale che si possa passare sempre al successivo nell ordinamento stabilito. L unico elemento che non ha il successivo è l ultimo. Per esempio, l insieme delle 10 cifre (da non confondere con i numeri, che sono infiniti) è finito, totalmente ordinato e discreto. I numeri naturali, quindi, servono non solo per contare, ma anche per ordinare. Hanno, perciò, due aspetti, strettamente legati tra loro e distinti: quello ordinale e quello cardinale. Quando si registra un ordine di arrivo a una corsa si considera l aspetto ordinale (primo, secondo, terzo, ...). Se, invece, ci si chiede quanti corridori hanno partecipato alla corsa, si considera l aspetto cardinale (zero, uno, due, ...). I numeri naturali possono essere rappresentati su una retta: scegliamo in modo arbitrario un suo punto O (che rappresenta 0 e che chiamiamo origine), un verso di percorrenza (che indichiamo con una freccia) e un segmento OU come unità di misura. Riportando più volte il segmento unitario OU nel verso di percorrenza scelto (in genere verso destra), si ottiene una rappresentazione di questo tipo: unità 0 1 O U 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 esempio FISSA I CONCETTI L insieme N dei numeri naturali: 0, 1, 2, 3, 4, è: Q infinito; Q totalmente ordinato; Q discreto: perché tra due numeri successivi non ce ne sono altri. 76 O A ognuno dei seguenti insiemi mancano alcune caratteristiche dell insieme N. Quali? a. L insieme dei punti di una retta. Non è discreto perché non si può determinare il successivo di un punto. b. L insieme dei punti del piano. Non è né discreto né ordinato perché nel piano non si può dire se un punto precede o segue un altro punto.