2 Insiemi numerici e operazioni elementari 1.2 Le operazioni in N Come certamente già sai, nell insieme dei numeri naturali è sempre possibile effettuare l addizione e la moltiplicazione; la sottrazione, invece, è possibile soltanto quando da un numero se ne sottrae uno minore o uguale. Anche la divisione non è sempre possibile in N. Può darsi, infatti, che dividendo due numeri naturali si ottenga un resto diverso da 0; in questi casi, per ottenere una divisione esatta occorre considerare numeri con la virgola, che non sono numeri naturali. In N possiamo però effettuare la divisione intera, indicata con il simbolo div. La divisione intera tra due numeri naturali è quella che si ferma alle unità: produce perciò un risultato (il quoziente intero) e un resto. Per esempio: 16 div 6 = 2 (con resto 4) La scrittura «16 div 6 = 2 (con resto 4) indica che, se moltiplichiamo 6 per 2 e addizioniamo 4, otteniamo 16. ATTENZIONE! A Q Quando diciamo che un operazione è sempre possibile in N intendiamo dire che il risultato è sempre un numero naturale. In generale, se a e b sono due numeri naturali qualsiasi (con b 0), abbiamo: a div b = q con resto r b q + r = a Il simbolo indica se e solo se . Il quoziente intero q e il resto r sono anch essi numeri naturali. esempio O Determina quoziente e resto delle seguenti divisioni intere. a. b. c. d. 7 div 2 = 3 con resto 1; infatti 2 3 + 1 = 7 0 div 11 = 0 con resto 0; infatti 11 0 + 0 = 0 1 div 5 = 0 con resto 1; infatti 5 0 + 1 = 1 12 div 4 = 3 con resto 0; infatti 4 3 + 0 = 12 La divisione intera, come la consueta divisione, è possibile se e solo se il divisore è diverso da 0. Quando vogliamo considerare i numeri naturali diversi da 0, indichiamo l'insieme con N0. FISSA I CONCETTI In N sono definite le seguenti operazioni: Q addizione (+) Q moltiplicazione ( ) Q divisione intera (div), se il divisore è diverso da 0 Sottrazione e divisione non intera non sono operazioni sempre possibili, perché il risultato potrebbe non essere un numero naturale. 1.3 Multipli, sottomultipli, divisori Se la divisione intera tra a e b ha resto uguale a 0, si dice indifferentemente che: Q a è multiplo di b per esempio: 20 è multiplo di 5 Q a è divisibile per b per esempio: 20 è divisibile per 5 Q b è divisore di a per esempio: 5 è divisore di 20 Q b divide a per esempio: 5 divide 20 Q b è sottomultiplo di a per esempio: 5 è sottomultiplo di 20 Ogni numero naturale diverso da 0 è sia divisibile per sé stesso (e il quoziente è 1) sia divisibile per 1 (e il quoziente è il numero stesso): a div a = 1 a div 1 = a Un divisore diverso dal numero stesso o da 1 si dice anche divisore proprio del numero. Così, 6 è un divisore proprio di 18, mentre né 1 né 18 sono suoi divisori propri. KEYWORDS K m multiplo / multiple divisibile / divisible divisore / divisor divide / split sottomultiplo / submultiple ATTENZIONE! A a div a = 1 vale per ogni a N 0, mentre a div 1 = a vale per ogni a N. 77