ARITMETICA E ALGEBRA 2x + 3 b. x 1 = _ 2 Il denominatore comune è 2. Riscriviamo tutti i termini con denominatore 2: 2x _ 2 2x + 3 _ =_ Moltiplichiamo entrambe le parti per 2: 2 2 2 2x 2 = 2x + 3 2x 2 2x + 2 = 2x + 3 2x + 2 0 = 5 essendo una contraddizione l equazione è impossibile: l insieme delle soluzioni è S = . FISSA I CONCETTI Per risolvere una equazione che contiene frazioni: Q dobbiamo ridurre tutti i termini allo stesso denominatore Q moltiplicare entrambe le parti per il denominatore comune Q semplificare e applicare il principio di equivalenza 2x + 3 3x + 2 5 c. _ _ = _ 6 2 3 Il denominatore comune è 6. Riscriviamo tutti i termini con denominatore 6: (2x + 3) 2___________ (3x + 2) _ 3___________ 5 Moltiplichiamo entrambe le parti per 6: = 6 6 6 3(2x + 3) 2(3x + 2) = 5 6x + 9 6x 4 = 5 0x + 5 = 5 0 + 5 = 5 5 = 5 l equazione è, in realtà, una identità: l insieme delle soluzioni è S = R. Nei paragrafi successivi considereremo sempre equazioni definite in R e ne ricercheremo, quindi, le soluzioni reali. Per questo non specificheremo più l insieme di definizione dell equazione, sottintendendo che essa è sempre definita in R. 2.7 Le equazioni per risolvere problemi Quando in un problema vogliamo determinare il valore di una grandezza, spesso il primo passo è formalizzare il problema, cioè riscriverne in formule il testo, utilizzando una equazione che esprima la relazione tra i dati e l incognita. Successivamente si risolve il problema, ormai impostato in termini algebrici. A titolo di esempio, consideriamo il seguente problema. Con lo sconto del 15% ho pagato 120 euro un paio di scarpe. Qual era il prezzo originario? Indichiamo con x il prezzo originario incognito: x = prezzo originario Non cerchiamo di individuare immediatamente il valore dell incognita, né procediamo per tentativi. Rileggendo il testo del problema, esprimiamo in forma algebrica l enunciato: prezzo pagato = prezzo originario 15% del prezzo originario 120 = x 15 _ x 100 Quindi l equazione che formalizza il problema è: 15 120 = x ____ x 100 che, per simmetria dell uguaglianza, possiamo anche scrivere: 15 x ____ x = 120 100 486