10 Equazioni e disequazioni di primo grado 2.6 Le equazioni con le frazioni Vediamo ora come si risolvono le equazioni in cui compaiono frazioni, nel caso in cui, però, i denominatori non contengano l incognita. Poiché una equazione rimane equivalente a sé stessa se si moltiplicano entrambe le parti per uno stesso numero diverso da 0, moltiplicando tutti i suoi termini per il denominatore comune, possiamo eliminare tutti i denominatori. Per esempio, risolviamo la seguente equazione: x 2 1 x_ 3 +2=_ _ 6 6 3 riduciamo tutti i termini allo stesso denominatore: (x 2) 1 x 3 + 12 2________________ _______________ = 6 6 moltiplichiamo entrambe le parti per il denominatore comune: 2(x 2) 1 x 3 + 12 = 6 __________ 6 _________ 6 6 semplificando e applicando il principio di equivalenza: x 3 + 12 = 2x 4 1 x + 9 = 2x 5 x 2x = 5 9 x = 14 x = 14 ATTENZIONE! A N risolvere le equazioni devi tenere presente Nel quanto segue, per evitare errori che si verificano frequentemente: Q ricordati di moltiplicare tutti i termini (sia a sinistra sia a destra) per il denominatore comune, per esempio: 1 _ x+3=1 2 1 2 _x + 2 3 = 2 1 2 x+6=2 e non 2 _1_ x + 3 = 1 2 Q non confondere divisione con sottrazione, per esempio: 5 2x = 5 x = _ 2 e non x = 5 2 non fare passaggi inutili e usa, invece, la proprietà simmetrica, per esempio: 3 3 = 4x dividendo per 4 si ha _ = x che è la 4 3 stessa cosa di x = _ 4 Q riconduciti alle proprietà di 0 e di 1, per esempio: 2x = 0 implica x = 0 (elemento annullatore per la moltiplicazione) 2x = 2 implica x = 1 (elemento neutro per la moltiplicazione) Q quando scrivi il denominatore comune non puoi scrivere una sola linea di frazione per tutta l equazione: la scrittura 4x =2 _ 5 non è corretta, perché una proposizione (la frase 4x = 2) non può essere trattata come un numero. Q esempio O Risolvi in R le seguenti equazioni. x 1 2x + 3 a. _ _ = 1 8 6 Il denominatore comune è 24. Riscriviamo tutti i termini con denominatore 24: 3(x 1) ___________ 4(2x + 3) _ 24 _ = 24 24 24 Moltiplichiamo entrambe le parti per 24 e semplifichiamo: 3x 3 8x 12 = 24 5x = 24 + 15 5x = 39 5x 39 39 ___ = ___ x = _ 5 5 5 PROVA TU P Risolvi in R la seguente equazione: Ri _1_ x = 2x + _1_ 2 2 485