ARITMETICA E ALGEBRA 2.2 Le equazioni equivalenti Può accadere che due equazioni, pur essendo formalmente diverse, abbiano lo stesso insieme S delle soluzioni. In tale caso le equazioni si dicono equivalenti. Di solito le incognite sono indicate con le ultime lettere dell alfabeto (x, y, ). Questa è, tuttavia, soltanto una consuetudine e non una regola e fu introdotta tra il XVI e il XVII secolo da Fran ois Viète e da René Descartes. esempi O Indica quali tra le seguenti equazioni, definite in R, sono equivalenti a x 3 = 0. ATTENZIONE! A T Talvolta parleremo di «insieme S delle soluzioni , più spesso, per non appesantire la notazione, parleremo semplicemente di «soluzioni . Potremo così dire, per esempio, che l insieme delle soluzioni dell equazione x + 6 = 9 è S = {3}, oppure che tale equazione ha come soluzione 3. a. x + 4 = 2x + 1 c. 6x + 1 = 3x + 10 b. 3x 2 = 4 d. 2x + 2 = x 1 L insieme delle soluzioni dell equazione x 3 = 0 è S = {3} infatti, sostituendo 3 alla x otteniamo 3 3 = 0 che è una uguaglianza vera. Sostituiamo il valore 3 alla x in tutte le equazioni e vediamo quali tra queste diventano uguaglianze vere. a. 3 + 4 = 2 3 + 1 quindi 7 = 7; poiché otteniamo una uguaglianza vera è equivalente a quella data. b. 3 3 2 = 4 quindi 7 = 4 (uguaglianza falsa); l equazione non è equivalente a quella data. c. 6 3 + 1 = 3 3 + 10 quindi 19 = 19 (uguaglianza vera); l equazione è equivalente a quella data. d. 2 3 + 2 = 3 1 quindi 4 = 2 (uguaglianza falsa); l equazione non è equivalente a quella data. O Indica se le seguenti coppie di equazioni in R sono tra loro equivalenti. a. x + 3 = 5 FISSA I CONCETTI Le equazioni equivalenti hanno lo stesso insieme delle soluzioni. x+2=4 b. 3 x = 2 x 3=2 c. 2x 1 = 1 x 1=0 d. 5 x = 3x + 1 x + 4 = 1 sì, per entrambe la soluzione è 2 no, le soluzioni sono rispettivamente 1 e 5 sì, per entrambe la soluzione è 1 no, le soluzioni sono rispettivamente 1 e 3 2.3 Il principio di equivalenza per le equazioni x a. 1x+1 2 Consideriamo il seguente problema. Abbiamo una bilancia a due piatti in equilibrio. Sul piatto di sinistra c è un pezzo di formaggio di cui non conosciamo il peso che, quindi, indichiamo con x (l incognita). Sul piatto di destra c è un altro pezzo dello stesso formaggio, pari alla metà di quello di sinistra, e un peso da un ettogrammo (fig. a.). Quanto pesa il pezzo di formaggio sul piatto di sinistra? Riscriviamo le informazioni utilizzando il simbolismo matematico; otteniamo l equazione che formalizza il problema. Sul piatto a sinistra c è un peso pari a quello del formaggio intero cioè x mentre sul piatto di destra c è un peso totale dato da mezzo formaggio più 1 hg. Tutto ciò si traduce nell equazione: 1 x = _x + 1 2 480