10 Equazioni e disequazioni di primo grado esempi O Indica quali delle seguenti formule aperte sono equazioni determinate, quali sono identità e quali sono equazioni impossibili nell insieme in cui sono definite. a. b. c. d. 0x = 0 in R 0x = 3 in R x + 8 = 2 in N x + 8 = 2 in R identità impossibile impossibile in N determinata, la cui soluzione è 6 O Indica quali delle seguenti scritture sono proposizioni vere nell insieme in cui sono definite. a. Esiste x R x + x = x2 b. c. d. e. vera e il numero reale 2 è soluzione dell equazione data. Per ogni x R si ha che x + x = 2x vera infatti ogni numero addizionato a sé stesso dà il proprio doppio. Esiste x R 2x + 1 = 7 vera e il numero reale 3 è soluzione dell equazione. Non esiste x R 3 + x = x vera infatti nessun numero addizionato a 3 può dare sé stesso. Per ogni x R si ha non(3 + x = x) vera infatti è equivalente alla scrittura precedente: qualunque numero si sostituisca a x la proposizione 3 + x = x è falsa; quindi la proposizione non(3 + x = x) è vera. 2 Le equazioni di primo grado FISSA I CONCETTI Q Q Q Una equazione è una identità se l insieme delle soluzioni S coincide con quello in cui si cercano le soluzioni. Una equazione è impossibile se l insieme delle soluzioni è vuoto. Una equazione è determinata se l insieme delle soluzioni è un sottoinsieme proprio dell insieme in cui l equazione è definita. Esercizi da pag. 507 PROVA TU Risolvere equazioni con Excel 2.1 Le equazioni numeriche in una incognita In questa unità ci limiteremo a risolvere le equazioni che hanno le seguenti caratteristiche: Q la variabile di cui non conosciamo il valore (e che per questo chiamiamo incognita) è una sola (anche se compare più volte). Per esempio x2 + x + 1 = x2 è una equazione in una incognita; Q l incognita, una volta effettuati i calcoli, non è mai elevata alla seconda potenza né a potenze superiori, è cioè di primo grado. Per esempio (x + 5) 22 = 3(x + 2) + 1 è una equazione di primo grado; Q non compaiono altre lettere oltre a quella che rappresenta l incognita, si tratta per cui di equazioni numeriche. Un equazione si dice numerica di primo grado se contiene numeri e una sola variabile (incognita) elevata alla prima potenza. PROVA TU P In Indica con una crocetta le equazioni numeriche in una incognita di primo grado. ax2 5x = 1 2(x 1)2 1 = x + 2 (x + 3)2 x2 = 1 3(x2 2)(x2 + 2) x x2 = 0 FISSA I CONCETTI Una equazione numerica di primo grado in una incognita ha una sola incognita e, una volta effettuati i calcoli, risulta di primo grado. 479