ARITMETICA E ALGEBRA Esercizi da pag. 502 1 Le equazioni 1.1 Le uguaglianze e le equazioni Come abbiamo già visto, una proposizione è una frase di cui si può stabilire il valore di verità, cioè dire se è vera o falsa. formata da un predicato, il verbo, e dagli argomenti ai quali questo si riferisce. Nella proposizione «Mario guarda un DVD , il predicato è «guardare e i suoi argomenti sono «Mario e «un DVD . APPROFONDIMENTO A C Come abbiamo già visto nell unità 1, una frase interrogativa, per esempio «Che ora è? , non è, nel linguaggio della logica, una proposizione, perché su di essa non si può esprimere un giudizio quale «è vera oppure «non è vera . Così come non lo è una esclamazione: «Che film lungo! . Lo è invece una affermazione: «Il film è lungo . KEYWORDS K u uguaglianza / equality equazione / equation ATTENZIONE! A Si dice che una equazione è definita in un insieme K se tratta di elementi e operazioni definiti in K. All insieme di definizione dovranno appartenere sia le variabili, sia le costanti. FISSA I CONCETTI Una equazione è una formula aperta, in cui il predicato è «essere uguale . 476 Se il predicato è «essere uguale la proposizione si dice uguaglianza. Gli argomenti del predicato, che si indica con il segno di uguaglianza =, sono i due termini posti rispettivamente prima e dopo di esso. Nel linguaggio della matematica, questi indicano, in generale, calcoli da eseguire in uno degli insiemi numerici fondamentali. Per esempio: 4 5 (2 : 3) = 3 + __ 3 è un uguaglianza tra due espressioni con numeri razionali a sinistra e a destra del segno di uguaglianza: l uguaglianza è definita in tale insieme. Una uguaglianza può quindi essere vera, come «2 + 2 = 4 , definita nell insieme N, oppure falsa, come «( 2)2 = 4 , definita nell insieme Z. Se in una frase uno degli argomenti del predicato contiene una variabile, allora non è possibile stabilire in generale se essa sia vera o falsa: anche se si presenta come un affermazione, non è una proposizione, ma una formula aperta. «Il calciatore x è capitano della squadra è un esempio di formula aperta: non possiamo stabilirne la verità. una formula aperta definita nell insieme dei giocatori di calcio, ma potremmo trasformarla in una proposizione sostituendo alla variabile x il nome di un giocatore: in un caso sarà vera, negli altri risulterà falsa. DEFINIZIONE Una equazione è una formula aperta, definita in un insieme numerico, il cui predicato è «essere uguale . Una equazione contiene perciò una o più variabili, dette incognite, indicate con lettere: non è, pertanto, una proposizione, perché non si può dire se è vera o falsa; essa diventa una uguaglianza vera o falsa a seconda dei valori che sostituiamo alle incognite. I valori che sostituiamo alle variabili appartengono all insieme in cui è definita l equazione chiamato, appunto, insieme di definizione. esempio O Tra le seguenti formule definite in R, distingui le uguaglianze dalle equazioni. a. 3 + 2 = 1 una uguaglianza falsa: non contiene variabili e possiamo verificare che i termini a sinistra e a destra del segno di uguaglianza non sono uguali. b. 3 + x = 5 e 2 + y = 2y Sono equazioni che diventano entrambe uguaglianze vere sostituendo il numero 2 alle lettere: entrambe hanno una soluzione reale 2. c. 6 2y = 2(y 3) sempre vera, qualsiasi sia il valore reale che assegniamo alla variabile: è una equazione che ha come soluzioni tutti i numeri reali.