10 Equazioni e disequazioni di primo grado 1.2 Le soluzioni di una equazione Data una equazione, definita in un insieme A, cerchiamo quei valori, appartenenti all insieme A, che, sostituiti alle incognite, la trasformano in una uguaglianza vera. Essi costituiscono l insieme delle soluzioni (S) dell equazione. La loro ricerca è la risoluzione dell equazione. esempio O Determina l insieme S delle soluzioni delle seguenti equazioni (per ciascuna di esse è indicato l insieme in cui cercare le soluzioni). a. x + 1 = 6 in N b. x = 4 in N 2 c. x2 = 4 in Z d. x x = 0 in R e. x x = 5 in R S = {5}, perché 5 + 1 = 6 e 5 N. S = {2}, perché 2 è il solo numero naturale che, elevato al quadrato, dà 4. L altro numero è 2, che non è naturale, ma intero. S = { 2 ; 2}, perché Z comprende anche numeri negativi e sia 2 sia 2 elevati al quadrato, danno 4. Si trasforma in un uguaglianza vera, qualsiasi sia il numero reale che si sostituisce a x. Possiamo dire che l insieme delle sue soluzioni è l insieme R in cui è definita: S = R. Nessun numero reale, sottratto a sé stesso, dà 5 come risultato, bensì 0. Qualsiasi numero si sostituisca a x si trasforma in un uguaglianza falsa: l insieme delle sue soluzioni è l insieme vuoto: S = . APPROFONDIMENTO A L i L insieme S delle soluzioni è un sottoinsieme di A e può essere: Q proprio se contiene solo una parte degli elementi di A; Q improprio se è vuoto o se coincide con l insieme A stesso. KEYWORDS K in insieme delle soluzioni / solution set FISSA I CONCETTI L insieme S delle soluzioni di una equazione è il sottoinsieme proprio o improprio, di A che contiene solo i valori che, sostituiti alle incognite, trasformano l equazione in una uguaglianza vera. 1.3 Identità, equazioni impossibili, equazioni determinate L insieme S delle soluzioni di una equazione è più o meno numeroso a seconda della relazione che essa esprime e dell insieme in cui vogliamo risolverla. Si possono distinguere i seguenti casi. 1. L insieme S delle soluzioni coincide con l insieme A in cui risolviamo l equazione. In altre parole, si trasforma in una uguaglianza vera, qualunque siano i valori che sostituiamo alle incognite. In tal caso si dice che è una identità. Per esempio, x x = 0, definita in R è una identità perché ogni numero, sottratto a sé stesso, dà 0. In questo caso, l uguaglianza è vera per ogni x reale e si scrive: x x = 0 è vera per ogni x R 2. L insieme S delle soluzioni è vuoto. Si trasforma in un uguaglianza falsa qualunque siano i valori che sostituiamo alle incognite nell insieme in cui essa è definita. In questo caso diciamo che è una equazione impossibile. Per esempio, x2 = 4 è una equazione impossibile in R perché nessun numero reale elevato al quadrato può essere negativo. In questi casi non esiste un valore che, sostituito all incognita, la trasforma in un uguaglianza vera. Scriviamo: non esiste x R x2 = 4 è vera (il simbolo si legge tale che ) oppure: per ogni x R si ha che x2 = 4 è falsa KEYWORDS K id identità / identity equazione impossibile / unsolved equation APPROFONDIMENTO A P Possiamo anche sottintendere «è vera e scrivere, rispettivamente: non esiste x R x 2 = 4 per ogni x R si ha non (x 2 = 4) 477