GEOMETRIA TEOREMA 11 In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell angolo al vertice coincide con la mediana relativa alla base. Dimostrazione Il teorema si compone di due parti che dimostriamo separatamente. A. bisettrice mediana M BC M Ip: CA CB, AC Ts: AM BM C A M B I triangoli CAM e CMB sono congruenti per il primo criterio (LAL). Infatti: CA CB (per ipotesi) CM è in comune M BC M (per ipotesi) AC II. Da I segue AM BM I. B. mediana bisettrice M BC M Ip: CA CB, AM BM Ts: AC I triangoli CAM e CMB sono congruenti per il terzo criterio (LLL). Infatti: CA CB (per ipotesi) AM MB (per ipotesi) CM è in comune M BC M II. Da I segue AC c.v.d. I. P A a. B P A b. Dato un segmento AB, possiamo allora costruire il suo punto medio con il se guente procedimento: C M B FISSA I CONCETTI Il punto M è il punto medio del segmento AB se AM MB In un triangolo, la mediana relativa a un lato è il segmento che congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto. Nei triangoli isosceli la bisettrice dell angolo al vertice coincide con la mediana della base. 454 1. consideriamo un punto P qualunque del piano, purché non allineato con A e B e, quindi, i segmenti PA e PB (fig. a.). 2. Se PA risulta congruente a PB, il triangolo PAB è isoscele e la bisettrice del suo angolo al vertice cade nel punto medio di AB (teorema 11) 3. Nel caso generale, il triangolo PAB non è isoscele e quindi (teorema 8) gli B e PB A non sono congruenti. angoli PA B > PB A. Supponiamo PA B e tale Consideriamo allora una semiretta di estremo A interna all angolo PA che formi con il lato AB un angolo congruente a PBA. Tale semiretta interseca il segmento PB in un punto C. Il triangolo ABC è isoscele (teorema 8) e quindi la bisettrice dell angolo al vertice C interseca il lato AB in un punto M tale che AM MB. M è il punto medio del segmento AB (fig. b.).