GEOMETRIA 2.3 Alcune forme di dimostrazione Dimostra i seguenti teoremi dopo aver opportunamente formalizzato le proprietà relative ai numeri. esercizio svolto [ ] Il prodotto di due numeri naturali dispari è un numero dispari. (Utilizza la definizione: «Un numero naturale si dice dispari se lo possiamo scrivere nella forma 2 k + 1, essendo k un numero naturale ). Dimostrazione Utilizziamo n e m per indicare due numeri naturali: P1. n è dispari (per ipotesi) P2. n = 2 k + 1 (da P1, per la definizione di numero dispari) P3. m è dispari (per ipotesi) P4. m = 2 h + 1 (da P3, per la definizione di numero dispari) P5. n m = (2 k + 1) (2 h + 1) (da P2 e P4) P6. n m = 4hk + 2k + 2h + 1 (da P5, per le regole dell algebra: proprietà distributiva) P7. n m = 2 (2hk + k + h) + 1 (da P6, per le regole dell algebra) P8. n m è dispari (da P7, per la definizione di numero dispari) 63 Se a è multiplo di b e b è multiplo di c, allora a è multiplo di c. (Utilizza la definizione: «Un numero naturale n si dice multiplo di un numero m se si ha n = k m, essendo k un numero naturale diverso da 0 ). 64 Il prodotto di due numeri pari è pari. (Utilizza la definizione: «Un numero si dice pari se lo possiamo scrivere nella forma 2k, essendo k un numero naturale ). 65 La somma di due numeri naturali consecutivi è dispari. (Utilizza la definizione: «Un numero si dice dispari se lo possiamo scrivere nella forma 2k + 1, essendo k un numero naturale ). 66 Il prodotto di due numeri naturali consecutivi è un numero pari. (Utilizza la definizione: «Due numeri naturali sono consecutivi se uno è il successivo dell altro, ovvero se dato un numero naturale n, il suo consecutivo è n + 1 ). 67 Il quadrato di ogni numero dispari è il successivo di un multiplo di 8. (Ricorda che dati due numeri naturali consecutivi, uno di essi è sicuramente pari e uno è dispari). Dimostra la validità dei seguenti ragionamenti dopo averli opportunamente formalizzati. [ ] esercizio svolto Mario è genovese. Nessun genovese è avaro. Quindi Mario non è avaro. Intendendo la non avarizia come sinonimo di generosità possiamo scrivere: Ogni genovese è generoso Mario è genovese quindi Mario è generoso 68 Paolo non suona il violino. Soltanto chi suona il violino può partecipare al concerto. Quindi Paolo non partecipa al concerto. 69 Ogni professoressa ha il registro. Barbara non ha il registro. Quindi Barbara non è una professoressa. 70 Laura e Antonio hanno risolto lo stesso numero di problemi del compito di matematica, ma solo chi li ha risolti tutti ha ricevuto come voto 10. Laura non ha ricevuto 10. Quindi Antonio non ha risolto tutti i problemi. 71 Tutti i concertisti maschi sono in sala. Mario è maschio e non è in sala. Quindi non è un concertista. 430