GEOMETRIA Per dimostrare il teorema è quindi sufficiente esibire un elemento di K che non ha tale proprietà, cioè provare che esiste un x per il quale non vale la proprietà P. Per esempio, consideriamo il seguente teorema. TEOREMA Non tutti i numeri naturali sono multipli di 3. FISSA I CONCETTI Dimostrazione con controesempio: utilizziamo almeno un esempio che verifichi l ipotesi. Per dimostrarlo basta mostrare un controesempio, cioè un numero che non è multiplo di 3; dire 2 costituisce la dimostrazione del teorema. esempi O Dimostra con un controesempio il seguente teorema: Nell insieme N dei numeri naturali non vale la proprietà commutativa dell elevamento a potenza. Per dimostrare che non per ogni a, b N vale tale proprietà, basta considerare il seguente controesempio: 23 32 perché 23 = 8 e 32 = 9 Esercizi da pag. 431 3 I primi assiomi geometrici 3.1 La geometria euclidea del piano Applichiamo le considerazioni precedenti alla geometria. A seconda del particolare ambiente che interessa studiare, possiamo distinguere diversi tipi di geometrie. In questo corso, ci limiteremo a studiare l ambiente euclideo (definito in onore del matematico greco Euclide) delle figure che ci circondano e che vediamo o tocchiamo. Occorre, tuttavia, fare alcune precisazioni riguardo: Q la dimensione dell ambiente; Q le caratteristiche degli oggetti; Q il metodo di studio. Dimensione dell ambiente: ci occuperemo del piano, cioè di uno spazio a due dimensioni. I protagonisti della matematica Euclide (IV-III sec. a.C.) è stato un matematico greco, forse il più importante nella storia antica. Per primo ha fornito una rappresentazione completa della geometria nell opera Elementi formata da ben 13 libri. La prima traduzione in italiano risale al 1543 grazie a Nicolò Tartaglia. 410 David Hilbert (1862-1943) è stato un matematico tedesco. Nella sua opera Fondamenti di geometria del 1899, opera un preciso e netto taglio con la realtà. Per introdurre gli enti fondamentali della geometria afferma: «Consideriamo tre insiemi di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo insieme e li indichiamo con le lettere A, B, C, ...; chiamiamo rette gli oggetti del secondo insieme e li indichiamo con le lettere a, b, c, ; chiamiamo piani gli oggetti del terzo insieme e li indichiamo con le lettere alfa, beta, gamma, ... Poi introduce gli assiomi fondamentali divisi in cinque gruppi.