Il Maraschini-Palma - volume 1

8 Ambiente del piano euclideo Formalmente: per ogni x, y N, x + y = y + x quindi 2+3=3+2 La regola di particolarizzazione può apparire banale; ma proprio perché semplice è importante, in quanto è facilmente applicabile: infatti, essa corrisponde a un nostro modo effettivo di ragionare. , per esempio, proprio in base a tale regola che, stabiliti in generale una proprietà o un assioma, possiamo applicarli a elementi particolari. esempio FISSA I CONCETTI Regola di particolarizzazione: per ogni x, vale P (x) quindi vale P (k) dove k è un particolare elemento dell insieme. O Che cosa si può ragionevolmente concludere dalle seguenti premesse, utilizzando la regola di particolarizzazione? quindi Ogni italiano è europeo Mario è italiano Certamente, Mario è europeo. Dimostrazione per assurdo Un applicazione del modus tollens è spesso utilizzata in matematica per dimostrare per assurdo una data proprietà. Che cosa significa dire dimostrare per assurdo? Supponiamo di voler dimostrare un affermazione P. Per farlo consideriamo la sua negazione, ovvero l ipotesi contraria nonP, e dimostriamo che, tale ipotesi contraria (detta anche ipotesi assurda), porta a una contraddizione poiché non è compatibile con gli assiomi o altri teoremi già accertati come veri. Per il modus tollens deve, quindi, essere vera P. Per fare un paragone extra-matematico, è come se un cittadino, accusato di un delitto, impostasse la sua difesa in questo modo: «Se io per assurdo fossi colpevole, allora sarei dovuto essere nel tal posto alla tal ora; ma, poiché è accertato che a quell ora stavo in un altro posto, non sono colpevole. Quindi, sono innocente . Le dimostrazioni per assurdo si utilizzano spesso per i teoremi di unicità, cioè quando vogliamo dimostrare che esiste un solo elemento che ha una determinata proprietà. In tali casi, infatti, indaghiamo su quali sarebbero le conseguenze se (ipotesi assurda, cioè contraria alla tesi) di tali elementi ce ne fossero due. ATTENZIONE! A Ab Abbiamo già incontrato un esempio di dimostrazione per assurdo nell unità 2 quando abbiamo _ provato l irrazionalità di 2 (non può cioè essere scritto come frazione). FISSA I CONCETTI Dimostrazione per assurdo: si assume come ipotesi l ipotesi contraria alla tesi da dimostrare. Se si arriva a una contraddizione, il teorema è dimostrato. Dimostrazione con controesempio Nelle affermazioni generali può, infine, essere necessario dimostrare una caratteristica al negativo: ovvero che non tutti gli elementi di un insieme hanno una certa proprietà P. Basta allora indicare un elemento dell insieme che non ha la proprietà P. Per dimostrare un teorema del tipo: Nell insieme K non vale la proprietà P, utilizziamo allora un metodo di dimostrazione con controesempio. Il teorema può, infatti, essere così formulato: Non per ogni x K vale la proprietà P equivalente dire che «la proprietà P non vale per tutti gli elementi di un insieme K oppure che «esiste almeno un elemento dell insieme K per il quale non vale la proprietà P . 409

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