3.2 Gli assiomi di incidenza

8 Ambiente del piano euclideo Caratteristiche degli oggetti: qui descriviamo e studiamo oggetti astratti del piano. Punti, rette, segmenti, triangoli e tutte le altre figure hanno caratteristiche e proprietà diverse da quelle che vediamo e disegniamo: non hanno colore, non hanno spessore, non hanno odore, non sono soggette alla gravità, sono disegnate e studiate in un piano che è ben più grande del piano del foglio o della lavagna: è un piano infinito. Il nostro oggetto di studio è lo spazio a due dimensioni astratto e infinito. Metodo di studio: partiremo dagli oggetti più elementari (i punti, le rette ecc.) e dalle loro relazioni reciproche più immediate (appartenenza di un punto a una retta, intersezione di due rette ecc.). A partire da tali relazioni intuitive arriveremo a molte altre conclusioni attraverso ragionamenti. In ciò consiste sostanzialmente il metodo assiomatico della geometria deduttiva o razionale, chiamata anche geometria euclidea del piano. APPROFONDIMENTO A Il termine spazio, nell uso comune, ha un significato molto generico. In matematica spazio è sinonimo di ambiente. Lo spazio può, quindi, avere una dimensione (una retta o una linea), due dimensioni (una superficie piana, o anche la superficie sferica terrestre), oppure anche tre dimensioni (per esempio lo spazio effettivo di movimento di una mosca, della nostra esperienza quotidiana). Nell accezione matematica, il piano è uno spazio a due dimensioni. 3.2 Gli assiomi di incidenza Ci interessiamo dunque di un particolare spazio geometrico: il piano euclideo. Esso ha due dimensioni ed è costituito da oggetti che descriviamo attraverso le loro caratteristiche e le loro relazioni. ASSIOMA 1 Il piano è un insieme infinito. Gli elementi che lo costituiscono sono detti punti. Le rette sono sottoinsiemi propri e infiniti del piano. ATTENZIONE! A N Nello studiare le figure geometriche e le loro proprietà, ricorda che punto, retta, piano sono esempi di enti fondamentali come vedremo più avanti. ASSIOMA 2 a. Ogni punto del piano appartiene a infinite rette. b. Ogni coppia di punti distinti del piano appartiene a una sola retta. Le rette sono particolari sottoinsiemi propri e infiniti del piano, quelli per i quali vale anche l assioma 2 ma, naturalmente, non tutti i sottoinsiemi del piano sono rette. Poiché le rette sono sottoinsiemi propri, data una qualunque retta, esiste almeno un punto del piano che non le appartiene. Dati perciò tre punti, vi sono due sole possibilità: Q i tre punti appartengono alla stessa retta e allora si dicono allineati; Q i tre punti non appartengono alla stessa retta: non sono allineati. PROVA TU P D Disegna 3 punti allineati. Quante rette puoi disegnare che passano per i 3 punti? Q Disegna 3 punti non allineati. Quante rette puoi disegnare che passano per i 3 punti? Q 411

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.