7 Scomposizione in fattori di un polinomio 2.4 Scomporre in fattori utilizzando altri metodi Tra i polinomi ce ne sono alcuni che, pur non ricadendo nei casi appena esposti, è possibile, grazie a particolari caratteristiche, scomporre in fattori in maniera immediata; si tratta della somma o differenza di cubi e del trinomio particolare. Somma e differenza di cubi KEYWORDS K Un polinomio che può essere scomposto facilmente è quello formato dalla somma (o dalla differenza) di due cubi ovvero: S3 T 3 S3 + T 3 Nel caso della somma di due cubi, la scomposizione è: s somma (o differenza) di cubi / sum (or difference) of cubes S3 + T3 = (S + T) (S2 ST + T2) Infatti: (S + T) (S2 ST + T2) = S3 S2T + ST 2 + S2T ST 2 + T 3 = S3 + T 3 Qualora il polinomio sia formato da una differenza di due cubi, la formula è: S3 T 3 = S3 + ( T)3 = ((S + ( T)) (S2 S ( T) + ( T)2) = = (S T) (S2 + ST + T 2) esempio O Scomponi in fattori i seguenti polinomi. a. 8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y)((2x)2 (2x)(3y) + (3y)2) = S3 2 + T3 = 2 (S + T ) (S 2 ST ATTENZIONE! A Il trinomio S 2 ST + T 2 non è il quadrato di un binomio perché, come puoi notare, contiene il prodotto dei termini S e T e non contiene il doppio prodotto. Infatti, questo trinomio prende il nome falso quadrato. Il falso quadrato è un polinomio irriducibile e quindi non può essere scomposto. + T 2) = (2x + 3y)(4x 6xy + 9y ) b. 64x6 27y3 = (64x6 + 27y3) = ((4x2)3 + (3y)3) = = (4x2 + 3y)(16x4 12x2y + 9y2) Trinomio particolare Un trinomio della forma x2 + bx + c con b, c 0 è chiamato particolare se è possibile trovare due numeri interi t 1 e t 2 che soddisfino le condizioni: t1 + t2 = b {t 1 t 2 = c Se si riescono a individuare tali numeri la scomposizione del trinomio è: x2 + bx + c = (x + t1) (x + t2) esempio O Scomponi in fattori il trinomio x2 + x 6 In questo caso, essendo b = 1 e c = 6, le condizioni che deve rispettare il trinomio per essere considerato particolare sono: t1 + t2 = 1 {t 1 t 2 = 6 Per quanto riguarda t 1 t 2 = 6 le scelte possibili sono t1 t2 riportate nella tabella a lato. Tra queste coppie, una sola rispetta la condizione t 1 + t 2 = 1 ed è, evidentemente, l ultima ovvero t1 = 2 e t2 = +3. Quindi la scomposizione in fattori è: x2 + x 6 = (x 2)(x + 3) APPROFONDIMENTO A P cercare se esistono i numeri t1 Per e t2 che soddisfano le condizioni, si parte sempre dal cercare i fattori in modo da ottenere il termine noto c. Questo perché dal momento che il numero delle coppie dei fattori che danno un prodotto è finito mentre il numero delle coppie degli addendi che soddisfano una somma sono infiniti. FISSA I CONCETTI Scomposizioni della somma e della differenza di due cubi: S 3 + T 3 = (S + T ) (S 2 ST + T 2) S 3 T 3 = (S T ) (S 2 + ST + T 2) Q +1 6 1 +6 +2 3 Scomposizione del trinomio particolare: x2 + bx + c = (x + t 1) (x + t 2) 2 +3 con Q t1 + t2 = b {t 1 t 2 = c 373