ARITMETICA E ALGEBRA 2.5 Scomporre in fattori utilizzando più tecniche ATTENZIONE! A P scomporre in fattori un Per polinomio è sempre utile osservare i termini per riconoscere o escludere eventuali prodotti notevoli. Le diverse tecniche per scomporre in fattori un polinomio possono combinarsi tra loro fino ad arrivare alla sua scomposizione finale. Supponiamo per esempio di voler scomporre in fattori il polinomio: 18x3y5 48x2y4 + 32xy3 Proviamo a mettere in evidenza 2xy3, che è il fattore di grado massimo comune ai suoi termini cioè il MCD tra i monomi che costituiscono il polinomio: 18x3y5 48x2y4 + 32xy3 = 2xy3 (9x2y2 24xy + 16) = 2xy3 (3xy 4)2 In sintesi, per scomporre un polinomio si procede per gradi. 1. Se è possibile si mette in evidenza (eventualmente per parti). 2. Successivamente, si osserva di quanti termini è composto il polinomio tra parentesi: Q se è un binomio, si analizza se è la differenza di due quadrati, oppure se è la somma o differenza di cubi; Q se è un trinomio, si analizza se è il quadrato di un binomio oppure se è un trinomio particolare; Q se è un quadrinomio, si analizza se è il cubo di un binomio. 3. Si prosegue fino a che è possibile scomporre con le tecniche conosciute. In generale possiamo procedere nella scomposizione in fattori in diversi modi: Q possiamo decidere di mettere in evidenza un monomio con coefficiente numerico positivo oppure negativo. Per esempio: 3ab2 6a2b = 3ab(b 2a) oppure 3ab2 6a2b = 3ab( b + 2a) Q il quadrato di un binomio può essere scritto in due modi, con segni opposti. Per esempio: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ma anche: a2 + 2ab + b2 = ( a b)2 Q poiché non ci si limita a polinomi con coefficienti numerici interi possiamo fare scelte diverse nel mettere in evidenza. Per esempio: 1 1 1 2 __ x y2 = (__x y)(__x + y) ma anche 4 2 2 1 2 1 1 2 2 __ __ x y = (x 4y2) = __(x 2y)(x + 2y) 4 4 4 esempio PROVA TU P Ri Riscrivi il trinomio x 2 + bx + c sostituendo a b = t 1 + t 2 e a c = t 1 t 2. Prova poi a scomporre il polinomio ottenuto utilizzando la scomposizione per parti. Approfondisci Esempi di scomposizioni 374 O Scomponi in fattori il seguente polinomio. 2 (x + 3x)(y + 5) (y + 5)(4x + 1) 5y 25 Raccogliamo x nel primo binomio (x2 + 3x) e 5 tra gli ultimi due monomi: = x (x + 3)(y + 5) (y + 5)(4x + 1) 5(y + 5) = Adesso raccogliamo a fattore comune il termine (y + 5): = (y + 5)(x (x + 3) (4x + 1) 5) = (y + 5)(x2 + 3x 4x 1 5) = = (y + 5)(x2 x 6) Il secondo fattore è un trinomio particolare che si scompone come (x + 2)(x 3) e quindi la scomposizione completa è: 2 (x + 3x)(y + 5) (y + 5)(4x + 1) 5y 25 = (y + 5)(x + 2)(x 3)