6 Monomi e polinomi 6.2 Il quadrato di un binomio La formula che ora ricaviamo riguarda il quadrato della somma (o della differenza) di due termini qualsiasi, siano essi monomi, polinomi o altre espressioni. Per esempio, l espressione: è il quadrato di un binomio, somma di due monomi, mentre: (2x + y)2 2 2 (a 3b) è il quadrato di un binomio, differenza di due monomi. Con le scritture: (S + T)2 e (S T)2 indichiamo due modi di esprimere questo calcolo. Otteniamo rispettivamente: (S + T)2 = (S + T)(S + T) = S 2 + ST + ST + T 2 = S 2 + 2ST + T 2 (S T)2 = (S T)(S T) = S 2 ST ST + T 2 = S2 2ST + T 2 In generale, quindi, riassumendo in una sola formula i due casi, scriviamo: (S T)2 = S 2 2ST + T 2 Il polinomio ottenuto come quadrato di un binomio è un polinomio omogeneo di secondo grado. Esso è formato da: Q il quadrato di ciascuno dei due termini del binomio, a cui si aggiunge Q il doppio del loro prodotto. Il segno di questo prodotto può essere positivo o negativo perché dipende dal segno originario dei termini del binomio: è negativo soltanto quando S e T hanno segno diverso. Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine, del quadrato del secondo termine e del doppio prodotto dei due termini: (S + T )2 = S 2 + 2ST + T 2 Il segno del doppio prodotto dipende dal segno dei due termini S e T. KEYWORDS K q quadrato di un binomio / square of a binomial ATTENZIONE! A P doppio prodotto si intende il Per doppio del prodotto dei due termini del binomio (non ancora elevati al quadrato). un errore frequente dimenticarsi di scrivere il doppio prodotto. Va ribadito, allora, che il quadrato di una somma è diverso dalla somma di due quadrati. Per esempio: (3 + 4)2 = 72 = 49 Diversamente: 32 + 42 = 25 APPROFONDIMENTO A P Proviamo a dare una interpretazione geometrica della formula del quadrato di un binomio. Se a e b indicano due segmenti, a2 e b2 indicano i quadrati rispettivamente costruiti su essi e (a + b)2 indica il quadrato costruito sulla somma dei due segmenti: b ab b2 a a2 ab a b L area totale è data dalla somma delle aree parziali per cui: a2 + b2 + ab + ab = a2 + b2 + 2ab che è il quadrato del binomio (a + b)2 esempi O Senza effettuare passaggi intermedi, verifica i seguenti quadrati di binomi. a. (3ab + 2c)2 = 9a2b2 + 12abc + 4c2 b. ( ac + d)2 = a2c2 2acd + d2 2 1 2 4 2 1 c. ( _ab _c) = _a2b2 + _abc + _c2 3 2 9 3 4 _ _ d. ( 2x y2)2= 2x2 2 2xy2 + y4 321