ARITMETICA E ALGEBRA O Calcola i seguenti quadrati. a. ((a + x) + b)2 = (a + x)2 + 2b(a + x) + b2 = 1° termine (è un polinomio) 2 2° termine doppio prodotto (è un monomio) 2 = a2 + 2ax + x + 2ab + 2bx + b b. (1 + (2a b))2 = 1 + 2(2a b) + (2a b)2 = 1° termine doppio prodotto 2° termine (è un polinomio) = 1 + 4a 2b + 4a2 4ab + b2 FISSA I CONCETTI (S + T )2 = S 2 + 2ST + T 2 è il quadrato di un binomio. Il segno del doppio prodotto dipende dai segni dei singoli termini. Possiamo osservare che, negli esempi proposti, le parentesi tonde sono superflue da un punto di vista algebrico infatti: ((a + x) + b)2 = (a + x + b)2 e (1 + (2a b))2 = (1 + 2a b)2 Quindi in realtà sono due quadrati di trinomi che analizzeremo nel dettaglio nel prossimo paragrafo. 6.3 Il quadrato di un trinomio Cerchiamo ora una formula per calcolare il quadrato di un trinomio. Consideriamo l espressione: (R + S + T)2 Per la definizione di potenza, abbiamo: (R + S + T)2 = (R + S + T) (R + S + T) = = R2 + RS + RT + RS + S2 + ST + RT + ST + T2 = = R2 + S2 + T2 + 2RS + 2RT + 2ST I tre termini al quadrato sono sempre positivi; i segni dei tre doppi prodotti dipendono dai segni dei singoli termini del trinomio. KEYWORDS K q quadrato di un trinomio / square of a trinomial Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi termini più i doppi prodotti di ciascun termine per ciascuno degli altri due: (R + S + T )2 = R 2 + S 2 + T 2 + 2RS + 2RT + 2ST I segni dei tre doppi prodotti dipendono dai segni dei singoli termini del trinomio. Verifichiamo l esempio alla fine del paragrafo precedente utilizzando la formula del quadrato di trinomio: ((a + x) + b)2 = (a + x + b)2 = a2 + x2 + b2 +2ax + 2ab + 2bx (1 + (2a b))2 = (1 + 2a b)2 = 1 + 4a2 + b2 + 4a 2b 4ab esempio O Senza effettuare passaggi intermedi, verifica i seguenti quadrati di trinomi. a. (x y + z)2 = x2 + y2 + z2 2xy + 2xz 2yz 2 1 1 1 1 1 1 b. (_a b3 _a5b2) = _a2 + b6 + _a10b4 ab3 _a6b2 + _a5b5 2 4 4 4 2 16 Possiamo generalizzare la formula del quadrato del trinomio a un polinomio di un numero qualsiasi di termini. Il quadrato di un polinomio è, allora, la somma dei quadrati dei suoi termini più i doppi prodotti di ciascun termine per ciascuno degli altri. 322