6 Monomi e polinomi 5.5 L elevamento a potenza di un polinomio Nell insieme P dei polinomi possiamo effettuare anche l operazione di elevamento a potenza con esponente naturale. Possiamo ricondurre, infatti, tale operazione a quella di moltiplicazione di fattori uguali. Se vogliamo calcolare, per esempio (a + b)2 applichiamo la definizione di potenza e scriviamo: (a + b)2 = (a + b) (a + b) = effettuando i calcoli e sommando i monomi simili otteniamo: = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 ATTENZIONE! A P esprimere il quadrato di un Per polinomio nelle due variabili a e b, p (a; b) si può scrivere (p (a; b))2 oppure, più semplicemente p2(a ; b) Q Ricorda che per ogni a 0, 1 1 n a n = __n = (__) a a e a n an Q Se l esponente non è un numero naturale, ma un numero intero negativo, l elevamento a potenza non dà in genere come risultato un polinomio. Per esempio: (2x + y) 3 1 applicando le proprietà delle potenze, diventa ________3 che non è un polinomio, (2x + y) ma una frazione algebrica. esempio O Eleva al quadrato i seguenti polinomi. a. p(a; b) = 4a + 2b p2(a; b) = (4a + 2b)2 = (4a + 2b)(4a + 2b) = = 16a2 + 8ab + 8ab + 4b2 = 16a2 + 16ab + 4b2 b. q(x; y) = 3x 2y q2(x; y) = (3x 2y)2 = (3x 2y)(3x 2y) = = 9x2 6xy 6xy + 4y2 = 9x2 12xy + 4y2 c. r(x; y; z) = 3x + y z r2(x; y; z) = (3x + y z)2 = (3x + y z)(3x + y z) = = 9x2 + 3xy 3xz + 3xy + y2 yz 3xz yz + z2 = = 9x2 + 6xy + y2 6xz 2yz + z2 6 Alcuni prodotti notevoli FISSA I CONCETTI Q Q Nell insieme dei polinomi è definita l operazione di elevamento a potenza con esponente naturale. Nell insieme dei polinomi è non definita l operazione di elevamento a potenza con esponente negativo. Esercizi da pag. 354 Nel calcolo letterale accade spesso di imbattersi in espressioni che, indipendentemente dai particolari monomi o polinomi che vi compaiono, hanno la stessa struttura; indicano, cioè, che occorre operare, con i loro termini, nello stesso modo. Le due espressioni: (3a + 4bc) (3a 4bc) (2xy + z2) (2xy z2) per esempio, hanno la stessa struttura perché entrambe sono il prodotto della somma di due termini per la loro differenza. Possiamo indicare la struttura dei due prodotti in questo modo: (S + T ) (S T ) Sviluppiamo il calcolo di tale schema e semplifichiamo i monomi simili: (S + T ) (S T ) = S2 ST + ST T 2 = S2 T 2 319