ARITMETICA E ALGEBRA ATTENZIONE! A S moltiplichiamo un polinomio di Se m termini per uno di n termini, otteniamo un polinomio di m n termini, che potrà poi, eventualmente, essere ridotto. Prima di effettuare eventuali riduzioni, conviene però controllare di avere effettivamente considerato tutti gli m n termini. FISSA I CONCETTI Q Q Q Il prodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando ciascun termine del primo polinomio con tutti i termini del secondo polinomio. La moltiplicazione è associativa e commutativa e ha 1 come elemento neutro. 0 è l annullatore dell insieme P rispetto alla moltiplicazione. Se p q = 0 (dove p e q sono due polinomi), allora necessariamente: p = 0 oppure q = 0. esempio O Calcola i seguenti prodotti di polinomi. a. (x2 5x + 3) (2x + 1) = = x2 2x + x2 1 + ( 5x) 2x + ( 5x) 1 + 3 2x + 3 1 = = 2x3 + x2 10x2 5x + 6x + 3 = 2x3 9x2 + x + 3 b. ( 4ax2 + x a) (a x3 + 2) = = 4a2x2 + 4ax5 8ax2 + ax x4 +2x a2 + ax3 2a Il polinomio può essere ridotto? No perché non ci sono monomi simili. Anche 0 è un particolare polinomio e ha la caratteristica di annullare qualsiasi polinomio per cui venga moltiplicato: il prodotto di un qualsiasi polinomio per 0 è 0. , cioè, l annullatore dell insieme P rispetto alla moltiplicazione. Il prodotto di due polinomi è 0 se e solo se almeno uno dei due polinomi è 0. La moltiplicazione di polinomi ha le seguenti proprietà: Q è associativa; Q è commutativa; Q 1 è l elemento neutro; Q 0 è l elemento annullatore. 5.4 Nell insieme dei polinomi non è definita la divisione Nell insieme R la divisione è definita come moltiplicazione per l inverso . L inverso di un polinomio non è però, in generale, un polinomio. L inverso del polinomio a + b, per esempio, è l espressione: 1 _____ a+b Tale espressione non può essere scritta come somma di monomi, quindi non è un polinomio. Essa presenta lettere al denominatore e pertanto è una frazione algebrica, argomento che affronteremo più avanti nel corso. Poiché nell insieme P un polinomio non ammette inverso rispetto alla moltiplicazione, la divisione di due polinomi non è in generale un polinomio, ma una frazione algebrica. APPROFONDIMENTO A L proprietà distributiva della La divisione rispetto all addizione vale soltanto se la somma è il dividendo: (a + b) : d = a : d + b : d Non vale se la somma è il divisore: d : (a + b) d : a + d : b FISSA I CONCETTI Nell insieme dei polinomi non è definita l operazione di divisione. 318 esempio O Risolvi le seguenti divisioni e scrivi se il risultato è una frazione algebrica e non un polinomio. a. (x + y) : x = Applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all addizione otteniamo: y x x + y x = 1 + __ è una frazione algebrica x b. (x + xy) : x = x x + xy x = 1 + y è un polinomio x c. x : (x + y) = _____ è una frazione algebrica x+y