1 Insiemi, proposizioni e relazioni a. Due rette sono dette parallele quando o coincidono o non hanno alcun punto in comune. La relazione «essere parallele è allora riflessiva (ogni retta è parallela a sé stessa, perché coincide con sé stessa), simmetrica e transitiva. b. Nessuna retta è perpendicolare a sé stessa e la relazione non è riflessiva. Se una retta r è perpendicolare a una retta t, anche t è perpendicolare a r: la relazione è simmetrica. La relazione non è transitiva, perché due rette perpendicolari alla stessa retta sono tra loro parallele e non perpendicolari. c. La relazione è riflessiva (ogni numero è minore o uguale a sé stesso), antisimmetrica e transitiva. FISSA I CONCETTI Q Q Q Q x A, x rel x: è la proprietà riflessiva. x, y A, x rel y y rel x: è la proprietà simmetrica. x, y A (con x y), x rel y y rel x: è la proprietà antisimmetrica. x, y, z A, (x rel y e y rel z) x rel z: è la proprietà transitiva. 4.3 Le relazioni di equivalenza Consideriamo nell insieme degli studenti della tua scuola la seguente relazione: «x è in relazione con y se e solo se x sta nella stessa classe di y . Puoi verificare che tale relazione soddisfa tre proprietà: Q è riflessiva; Q è simmetrica; Q è transitiva. L insieme degli studenti è così ripartito in diversi sottoinsiemi (le classi), che hanno queste caratteristiche: a. in ognuna delle classi ogni studente è in relazione con tutti gli altri compagni di classe; b. due studenti di classi diverse non sono in relazione tra loro. Come ora vedremo, questa ripartizione in sottoinsiemi si verifica ogni volta che una relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva; è per tale motivo che le relazioni di questo tipo hanno una particolare importanza. DEFINIZIONE Una relazione per la quale valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta relazione di equivalenza o, più semplicemente, equivalenza. KEYWORDS K rel relazione di equivalenza / equivalence Quando in un insieme A è definita una relazione di equivalenza, l insieme viene ripartito in sottoinsiemi disgiunti, con le seguenti caratteristiche: a. all interno di ognuno dei sottoinsiemi tutti gli elementi sono tra loro in relazione; b. due elementi che appartengono a sottoinsiemi diversi non sono tra loro in relazione. Tali sottoinsiemi sono chiamati classi di equivalenza. Le classi di equivalenza sono, quindi, sottoinsiemi disgiunti la cui unione coincide con l insieme nel quale è stata definita la relazione (fig. a lato). Possiamo allora considerare ogni classe come un tutt uno, senza pensare ai singoli elementi di cui è composta. L insieme che ha per elementi le classi di equivalenza è detto insieme delle classi o insieme quoziente. Per esempio, la relazione «essere residenti nello stesso comune , definita nell insieme delle persone residenti in Italia, è una relazione di equivalenza. 27