RELAZIONI E FUNZIONI In ogni classe vi sono tutte le persone che risiedono in un determinato comune e una persona non può risiedere in più comuni. Le classi di equivalenza sono rappresentate, allora, dai comuni italiani: l insieme delle classi individuato da questa relazione è perciò l insieme dei comuni. esempio O Dopo aver verificato che ognuna delle seguenti relazioni è una equivalenza, stabilisci qual è l insieme delle classi. a. Insieme: {giocatori di calcio di serie A} equivalenza: «giocare nella stessa squadra b. Insieme: {persone viventi} equivalenza: «essere dello stesso sesso c. Insieme: {rette del piano} equivalenza: «essere parallele a. L insieme delle classi è l insieme delle squadre di calcio di serie A. b. L insieme delle classi è l insieme dei due possibili sessi anagrafici: {M, F}. c. La relazione, oltre che simmetrica e transitiva, è anche riflessiva perché ogni retta si considera parallela a sé stessa. L insieme delle classi è l insieme delle possibili direzioni del piano. Quando si considera una relazione di equivalenza, si conduce un ragionamento a un livello più astratto, perché si passa dall insieme formato dai singoli elementi all insieme delle classi. Per l esempio appena visto, passiamo dall insieme dei giocatori della medesima squadra all insieme delle squadre. In un ragionamento, tale passaggio è particolarmente importante perché permette di definire concetti nuovi per astrazione da concetti più semplici. Per esempio, la relazione di parallelismo tra rette permette APPROFONDIMENTO A di passare al concetto di direzione. Infatti, come abbiamo CConsideriamo una relazione di equivalenza definita in un insieme visto al punto c. dell esempio precedente, la relazione di A. Consideriamo poi un qualunque elemento x A e il parallelismo tra rette del piano è una relazione di equivasottoinsieme S formato da tutti gli elementi di A in relazione con lenza e questo ci permette di suddividere l insieme delle x. Tutti gli elementi di S, essendo in relazione con x, sono anche in rette in sottoinsiemi disgiunti ciascuno dei sottoinsiemi relazione tra loro. Consideriamo ora un altro elemento y A e il sottoinsieme T formato da tutti gli elementi di A in relazione con y. contiene tutte le rette fra loro parallele. Pertanto la relaI due sottoinsiemi T ed S, se hanno anche un solo elemento in zione di parallelismo ci permette di passare dall insieme comune, allora coincidono. di tutte le rette del piano all insieme delle classi di equivaInfatti, se hanno un elemento z in comune, allora z, appartenendo lenza. sia a S sia a T, è in relazione con tutti gli elementi di S e di T. Ogni classe di equivalenza può essere rappresentata, dunMa allora tutti gli elementi di S e di T sono in relazione tra loro. Quindi, S e T, per come sono definiti, coincidono. que, da una qualsiasi retta che le appartiene e quindi ogni classe di equivalenza è una direzione. FISSA I CONCETTI Q Q Q La relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva. L insieme delle classi di equivalenza è l insieme costituito da tutti i sottoinsiemi disgiunti formati da elementi tra loro equivalenti. Con una relazione di equivalenza in un insieme si passa dall insieme dei singoli elementi all insieme delle classi di elementi equivalenti. 28 Le classi di equivalenza costruite a partire da una relazione di equivalenza definita in un insieme A costituiscono una partizione di tale insieme: sono, infatti, sottoinsiemi disgiunti di A e la loro unione dà l insieme A.