RELAZIONI E FUNZIONI La proprietà antisimmetrica DEFINIZIONE APPROFONDIMENTO A U definizione equivalente Una della proprietà antisimmetrica è la seguente: x, y A, (x rel y e y rel x) x = y Una relazione definita in un insieme A è antisimmetrica quando non si può invertire l ordine; se x e y non coincidono e x è in relazione con y, allora y non è in relazione con x: per ogni x, y A e x y, x rel y y rel x Un esempio di relazione antisimmetrica è la relazione «essere minore definita nell insieme dei numeri naturali. Un controesempio, cioè un esempio di relazione che non ha tale proprietà, è, invece, la relazione «guardare nell insieme delle persone: se una persona x guarda un altra persona y, può accadere che anche y guardi x. Questa relazione, che non è antisimmetrica, non è però neppure simmetrica: può infatti accadere che x guardi y, ma y non guardi x. Una relazione può essere né simmetrica, né antisimmetrica. La proprietà transitiva DEFINIZIONE Una relazione definita in un insieme A è transitiva se, qualunque siano tre elementi x, y, z dell insieme, se x è in relazione con y e y è in relazione con z, allora x è in relazione con z: per ogni x, y, z A, (x rel y e y rel z) x rel z Un esempio di relazione transitiva è la relazione «essere maggiore definita nell insieme dei numeri naturali: se, infatti, il numero x è maggiore del numero y (qualunque siano i due numeri) e y è maggiore del numero z (qualunque sia z), allora necessariamente x è maggiore di z. Un controesempio è, invece, la relazione «essere vicini di posto , definitiva nell insieme delle persone sedute in un cinema. Se, infatti, x è seduto vicino a y e y è seduto vicino a z, allora x non è seduto vicino a z. esempi O Analizza le proprietà di ognuna delle seguenti relazioni: a. nell insieme delle persone: «essere figli b. nell insieme delle persone: «essere discendenti c. nell insieme delle persone: «avere lo stesso nome d. nell insieme degli studenti della tua scuola: «prendere uno stesso autobus APPROFONDIMENTO A Il simbolo indica la relazione «essere minore o uguale . Essa esprime la disgiunzione «essere minore o «essere uguale . La scrittura a b indica che a è minore oppure uguale a b. Lo stesso vale per la relazione «essere maggiore o uguale , che si indica con . 26 a. Non è né riflessiva, né simmetrica, né transitiva. antisimmetrica. b. antisimmetrica e transitiva (il discendente di un discendente di x è a sua volta discendente di x). c. riflessiva, simmetrica e transitiva. d. riflessiva e simmetrica, ma non è transitiva. Può, infatti, accadere che x prenda un autobus in comune con y e y un secondo autobus in comune con z diverso da quello che prende con x: x e z non prendono autobus in comune. O Analizza le proprietà di ognuna delle seguenti relazioni: a. nell insieme delle rette del piano: «essere parallele b. nell insieme delle rette del piano: «essere perpendicolari c. nell insieme dei numeri naturali: «essere minore o uguale