4 Trasformazioni geometriche nel piano 3.5 La traslazione nulla, la traslazione opposta Tra gli infiniti vettori ne possiamo considerare uno molto particolare: quello di modulo nullo. Esso è chiamato vettore nullo e viene indicato con 0; le sue componenti sono (0 ; 0). Al vettore nullo corrisponde la traslazione nulla, una traslazione virtuale, che di fatto coincide con l identità: a ogni punto corrisponde sé stesso. Di ogni traslazione possiamo poi considerare la sua opposta: quella che agisce lungo la stessa direzione, con la stessa lunghezza, ma di verso opposto. Se una traslazione è definita dal vettore v, di componenti (x ; y), la traslazione opposta è definita dal vettore di componenti ( x ; y) e la indichiamo con v, vettore opposto del vettore v. Se applichiamo prima la traslazione di vettore v e poi la sua opposta, di vettore v, ogni punto torna a corrispondere a sé stesso: otteniamo una identità. esempio O Trasla successivamente il segmento di estremi A(2 ; 2) e B(5 ; 4) in figura a. secondo i vettori v1, v2, v3, v4, v5 indicati nella figura b. y B A A A 1 O 1 v5 B B v2 B v4 v1 v3 A x a. b. Con la traslazione di vettore v1 = (+3 ; 0), al segmento AB corrisponde il segmento di estremi A (5 ; 2) e B (8 ; 4). Con la traslazione di vettore v2 = ( 6 ; +3), ad A B corrisponde il segmento di estremi A ( 1 ; 5), e B (+2 ; +7). Con la traslazione di vettore v3 = (+2 ; 1), ad A B corrisponde il segmento di estremi A (1 ; 4) e B (4 ; 6). I vettori v4 = ( 4 ; 4) e v5 = (+4 ; +4) sono tra loro opposti. Quindi, applicando successivamente le loro corrispondenti traslazioni abbiamo l identità. Essi non hanno perciò alcun effetto e il segmento ottenuto, con tutte le traslazioni indicate, è A B . ATTENZIONE! A Ri Ricorda che tutte le trasformazioni che qui consideriamo sono collineazioni (hanno come invariante l allineamento dei punti). Gli invarianti di una traslazione Gli invarianti di una traslazione sono, oltre all allineamento dei punti: I. la lunghezza dei segmenti; IV. le direzioni; II. l ampiezza degli angoli; V. il rapporto tra i segmenti; III. il parallelismo; VI. l orientamento dei punti del piano. Nessun punto del piano corrisponde a sé stesso in una traslazione che non si riduca alla semplice identità: una traslazione diversa dall identità non lascia fisso alcun punto del piano. FISSA I CONCETTI Q Q Il vettore nullo 0 è il vettore di modulo nullo che ha (0 ; 0) come componenti (di direzione e verso qualunque). La traslazione di vettore nullo è l identità. 211