4 Trasformazioni geometriche nel piano 3.3 Le componenti di un vettore Nel piano cartesiano, il modo più semplice di individuare un vettore è quello di darne le componenti nelle direzioni dei due assi del riferimento. Come un punto nel piano ha due coordinate, così un vettore nel piano ha due componenti, una nella direzione dell asse delle ascisse e l altra nella direzione dell asse delle ordinate. Per esempio, il vettore v = (+3 ; +2) ha componente orizzontale +3 e componente verticale +2 (fig. a.). Analogamente, il vettore w = ( 4 ; 2) è il vettore che ha componente orizzontale 4 e componente verticale 2 (fig. b.). y v x a. w b. esempio O Scrivi le componenti dei vettori v1, v2, v3, v4, v5 indicati in figura e rappresentati da segmenti orientati applicati nell origine. y ATTENZIONE! A P indicare più chiaramente il Per verso di ciascuna componente scriviamo sempre il suo segno, anche nel caso sia positivo. v2 v1 v3 O Abbiamo: v1 = (+3 ; +1) v2 = ( 2 ; +3) v4 v5 x VideoSTRUMENTI Aprire un le con GeoGebra v4 = (0 ; 3) PROVA TU La traslazione con GeoGebra v5 = (+5 ; 2) v3 = ( 2 ; +1) Assegnato un vettore, attraverso le sue componenti si può effettuare una traslazione applicandolo a particolari punti della figura. Nel caso di un poligono, è sufficiente applicare il vettore ai suoi vertici. Per esempio, vogliamo traslare il parallelogramma di vertici A(2 ; 0), B(5 ; 1), C(6 ; 3), D(3 ; 2) secondo il vettore v = (+1 ; 3) (fig. c.). Applichiamo allora il vettore a ciascun vertice del parallelogramma. Il parallelogramma A B C D è il corrispondente di ABCD nella traslazione indicata. Le coordinate dei suoi vertici si ottengono addizionando 1 alle ascisse e sottraendo 3 alle ordinate dei vertici A, B, C, D: A (3 ; 3), B (6 ; 2), C (7 ; 0), D (4 ; 1). y B O v A C D A x B c. y Viceversa, date due figure corrispondenti in una traslazione, si può individuare il segmento orientato che associa due punti corrispondenti P1 e P2 e trovare le componenti del vettore di cui esso è un rappresentante. Infatti, dato un generico segmento orientato P 1 P 2, con P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2), le componenti del vettore rappresentato si ottengono sottraendo alle coordinate dell estremo finale le coordinate di quello iniziale: il vettore rappresentato da P 1 P 2 è perciò v = (x2 x1 ; y2 y1) (fig. d.). C D P2 y2 y1 O P1 x1 x2 x d. 209