ARITMETICA E ALGEBRA Per esempio, se a rappresenta un numero reale e abbiamo l espressione: 1 _ a+3 a+2 a 2 si può applicare la proprietà distributiva mettendo in evidenza il fattore a. Scriviamo: ATTENZIONE! A U linea di frazione lunga ha la Una stessa funzione di una parentesi. Indica che l espressione a numeratore deve essere divisa per quella a denominatore: 6 a + 18 b 6 ___________________________ è equivalente a: 6 (6 a + 18 b 6) : 6 Non è possibile semplificare, per esempio, il 6 a numeratore con il 6 a denominatore, prima di averlo raccolto come fattore comune; cioè: 6 a + 18 b 6 ___________________________ non si può fare 6 FISSA I CONCETTI Q Q a (b + c) = a b + a c: è la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione per ogni a, b, c R. a (b * c) = (a b) * (a c): è la proprietà distributiva dell operazione rispetto all operazione * per ogni a, b, c A. 1 1 _ a+3 a+2 a=a _+3+2 =a 1+6+4 11 ______________ _ (2 ) ( )= 2 a 2 2 Raccogliere un fattore comune si rivela utile anche per semplificare formule ed espressioni in cui compaiono frazioni. Per esempio, possiamo così semplificare la seguente espressione: 30 a + 75 b ___________________________ 15 [2 a + 5 b] _____________________ = =2 a+5 b 15 15 esempi O Mettendo in evidenza un fattore comune, semplifica le seguenti espressioni. a. 2 a + 3 a + 4 a = a (2 + 3 + 4) = 9 a 1 1 1 1 5 b. _ b + _ b = b _ + _ = _ b (2 3) 6 2 3 2 2 5 c. c + _ c Poiché c = 1 c, possiamo scrivere: c 1 + _ = _ c ( ) 3 3 3 O Mettendo in evidenza un fattore comune, semplifica le seguenti espressioni frazionarie. 6 a + 18 b 6 6 (a + 3 b 1) a. ___________________________ = _______________ = a + 3 b 1 6 6 2 9 a c 12 a b + 3 a 3 a (4 b + a 3 c) b. ____________________________________________ = ____________________ = 4 b + a 3 c 3 a 3 a 7.3 Alcuni elementi particolari Dopo aver analizzato le diverse proprietà delle operazioni, individuiamo alcuni elementi particolari ovvero: Q neutro; Q annullatore; Q inverso. L elemento neutro KEYWORDS K elemento neutro / identity element el 100 Sappiamo che il numero 0 ha un ruolo particolare nell addizione: lascia invariato qualsiasi numero a cui venga addizionato. Infatti: per ogni a R abbiamo a + 0 = 0 + a = a Il numero 0 è perciò detto elemento neutro rispetto all addizione. Il numero 1 ha, rispetto alla moltiplicazione, lo stesso ruolo che ha 0 rispetto all addizione: è l unico numero reale che lascia invariato ogni numero con cui è moltiplicato. Infatti: per ogni a R abbiamo a 1 = 1 a = a Il numero 1 è perciò detto elemento neutro rispetto alla moltiplicazione. Se in un insieme A, in cui è definita una operazione *, esiste un elemento u che non influenza i risultati in alcun caso, allora u è elemento neutro di A rispetto all operazione *.