2 Insiemi numerici e operazioni elementari La proprietà che giustifica questo procedimento non riguarda soltanto l addizione o soltanto la moltiplicazione, ma le coinvolge entrambe. KEYWORDS K Essa è detta proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione: se si deve moltiplicare un numero per una somma è possibile moltiplicarlo per ciascuno degli addendi e addizionare i risultati ottenuti. Formalmente: per ogni a, b, c R, a (b + c) = a b + a c In questo modo la moltiplicazione è distribuita rispetto ai due termini dell addizione: a (b + c) = a b + a c p proprietà distributiva / distributive property DEFINIZIONE In un insieme A, in cui siano definite due operazioni, indicate con e *, vale la proprietà distributiva dell operazione rispetto all operazione * se per ogni terna a, b, c di elementi di A abbiamo: a (b * c) = (a b) * (a c) esempi O Quali delle seguenti uguaglianze sono vere nell insieme R? Rispondi verificando la proprietà distributiva. 3 20 5 3 a. 20 (_ 2) = ______ 20 2 = 15 40 vera 4 41 b. 15 : (3 + 5) = 15 : 3 + 15 : 5 falsa c. 16 + (4 2 3) = (16 + 4) (16 + 2) (16 + 3) d. (18 + 81) : 3 = 18 : 3 + 81 : 3 falsa vera O Facendo alcuni esempi, stabilisci se in R vale la proprietà distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione. Stabilisci cioè se per ogni a, b, c R, a + (b c) = (a + b) (a + c) Troviamo facilmente un controesempio: 3 + (2 5) (3 + 2) (3 + 5) Infatti: 3 + (2 5) = 13 (3 + 2) (3 + 5) = 5 8 = 40 Non vale, perciò, la proprietà distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione. Come mostra l esempio precedente, l addizione e la moltiplicazione sono legate da una sola proprietà distributiva: quella della moltiplicazione rispetto all addizione. Possiamo utilizzare la proprietà distributiva anche nel verso opposto e riscrivere una espressione del tipo a b + a c come a (b + c). Per esempio, possiamo riscrivere la somma 2 + 4 + 6 + 8 + 10 in questo modo: 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) Questa possibilità di impiegare la proprietà distributiva al contrario consiste, quindi, nel raccogliere un fattore comune a tutti i termini di un addizione, ponendolo fuori dalla parentesi, cioè mettendolo in evidenza. Quando si mette in evidenza un fattore comune, ciascun termine dell addizione viene diviso per esso. Ciò risulta utile quando di alcuni numeri non si conosce il valore e si utilizzano perciò delle lettere per rappresentarli. 99