2 Insiemi numerici e operazioni elementari DEFINIZIONE Si dice che u è elemento neutro di A rispetto all operazione * in esso definita, se per ogni elemento x di A abbiamo: x*u=u*x=x L elemento neutro u, se esiste, è unico. esempi O Nell insieme N0 è definita l operazione minimo comune multiplo, indicata con mcm: a mcm b = minimo comune multiplo tra a e b Esiste l elemento neutro? Se sì qual è? APPROFONDIMENTO A L L elemento neutro u è unico. Se, per assurdo, ne esistesse un altro, che indichiamo con z, l operazione u * z avrebbe due risultati diversi: Q u * z = u perché z è elemento neutro Q u * z = z perché u è elemento neutro Poiché il risultato di una operazione è unico, necessariamente z coincide con u. 1 è l elemento neutro per l operazione mcm, perché ogni elemento in N0 è suo multiplo: a mcm 1 = a, per ogni a N0 O Nell insieme Z l operazione di sottrazione ammette l elemento neutro? Il numero 0 potrebbe essere visto come elemento neutro, perché a 0 = a, qualunque sia a. Se, però, consideriamo 0 a, il suo risultato è l opposto di a e non a. Quindi, 0 non è elemento neutro per la sottrazione. FISSA I CONCETTI L esempio precedente permette di sottolineare quanto già detto nella definizione: un elemento dell insieme è elemento neutro rispetto a una operazione soltanto se lo è sia a destra sia a sinistra. x * u = u * x = x: u A è l elemento neutro rispetto all operazione * qualsiasi sia x A. Elementi e operazioni inverse L esistenza dell elemento neutro è una caratteristica importante di una operazione, perché permette di definire i concetti di elemento inverso e di operazione inversa. KEYWORDS K Due elementi si dicono inversi rispetto a una operazione quando il risultato dell operazione tra di essi è l elemento neutro. 2 2 Due numeri opposti, quali 5 e 5, _ e _ o, in generale, a e a sono inversi ri3 3 spetto all addizione, perché, addizionati, danno come risultato 0: a + ( a) = ( a) + a = 0 1 4 3 1 Due numeri reciproci, quali 5 e _, _ e _ o, in generale, a e __ (con a 0) sono 5 3 4 a inversi rispetto alla moltiplicazione, perché il loro prodotto è 1: el elemento inverso / inverse element elemento opposto / additive inverse elemento reciproco / reciprocal 1 1 a __ = __ a = 1 a a DEFINIZIONE dato un insieme A in cui è definita una operazione, indicata con *, per la quale esiste un elemento neutro u A. Si dice che a A è inverso di b A rispetto all operazione * (e viceversa), se il risultato dell operazione tra a e b è proprio l elemento neutro u: a*b=b*a=u L inverso di a rispetto all operazione * può essere indicato con INV*(a). 101