4 Funzioni derivate e primitive y O b 2b x A(a ; 0) Facendo ruotare attorno all asse della parabola questi rettangoli, otteniamo un solido formato da cilindri sovrapposti, il cui volume approssima per difetto quello del paraboloide. y O x a In corrispondenza di un punto di ascissa x, il raggio _ del cerchio di base di un cilindro è y e quindi la sua area è y2. Poiché y = x e quindi y2 = x, l area di tale cerchio di base è x. Nei punti indicati i cilindri hanno perciò volume: 0 b 2 2 b 2 3 b 2 (n 1) b 2 Il volume del solido formato da cilindri si ottiene sommando i volumi dei singoli cilindri ed è perciò: (n 1)n n 1 vn = b2 (1 + 2 + 3 + + n 1) = b2 _______ = a2 _____ = 2 2n a2 _____ n 1 a2 1_ ___ ___ _ = = 1 ) n 2 ( n ) 2 ( Consideriamo ora i cilindri costruiti a partire dai corrispondenti rettangoli circoscritti. Le loro altezze sono le misure dei segmenti in corrispondenza dei punti di ascissa: b, 2b, 3b, , nb. ATTENZIONE! A LLa somma dei primi n 1 numeri (n 1) n naturali è _. 2 a Inoltre, b = _. n E allora, facendo considerazioni analoghe a quelle svolte sopra, otteniamo il volume del solido formato dai cilindri circoscritti: (n + 1)n n+1 Vn = b2 (1 + 2 + 3 + + n) = b2 _______ = a2 _____ = 2 2n a2 n + 1 a2 1 = ___(_____) = ___(1 + __) n 2 n 2 Al variare di n, otteniamo due successioni di valori del volume, una per difetto, l altra per eccesso. Con lo stesso procedimento utilizzato per le aree, possiamo dire che le due successioni dei volumi dei cilindri iscritti e circoscritti al paraboloide, a2 (vn e Vn) convergono entrambe al limite finito _ che definiamo come suo volume: 2 a2 V= _ 2 207