Le figure limitate da un arco di parabola

RELAZIONI E FUNZIONI Le figure limitate da un arco di parabola Nel determinare il volume del paraboloide finito, la parte centrale del ragionamento è consistita nell approssimare una superficie (la sezione del paraboloide) attraverso due figure a scala, l una formata da un insieme di rettangoli inscritti, l altra formata da un insieme di rettangoli circoscritti. Tale ragionamento può essere applicato a ogni superficie come la precedente,_delimitata cioè dal grafico di una funzione (nel nostro caso la funzione era y = x), da un segmento sull asse delle ascisse e da due segmenti paralleli all asse delle ordinate. Il ragionamento è ulteriormente generalizzabile: sotto certe condizioni, l area di una superficie a contorno curvilineo (come la F nel disegno qui sotto) può essere ricavata per differenza dalle aree delle due superfici F ed F che sono comprese tra i grafici di due funzioni e l asse delle ascisse: y y F ATTENZIONE! A Di Dimostriamo la formula utilizzata qui a fianco: n n (n + 1)(2n + 1) k 2 = ____________ 6 k=1 Qualunque sia h intero positivo è valida la seguente identità: (h + 1) 3 h 3 = 3h 2 + 3h + 1 A partire da h = 0 sono dunque valide le seguenti identità: (0 + 1) 3 0 3 = 3 0 2 + 3 0 + 1 (1 + 1) 3 13 = 3 12 + 3 1 + 1 (2 + 1) 3 2 3 = 3 22 + 3 2 + 1 (3 + 1) 3 3 3 = 3 32 + 3 3 + 1 (n + 1) 3 n 3 = 3 n 2 + 3 n + 1 y F x F x x L area di ognuna delle due superfici F ed F può poi essere determinata attraverso approssimazioni di rettangoli inscritti e circoscritti. Come problema geometrico, risulta quindi molto importante la determinazione dell area sottesa al grafico di una funzione in un intervallo chiuso [a ; b]. Utilizzando allora un metodo analogo al precedente, determiniamo l area sottesa al grafico di y = x2 nell intervallo [0 ; a]. a Suddividiamo l intervallo [0 ; a] in n parti uguali e, posto b = __, i punti di suddin visione hanno rispettivamente ascissa: b 0 2b 3b y 4b nb y Sommando tutti i termini di queste identità, si ottiene: (n + 1)3 = 3 (12 + 2 2 + + n 2) + + 3 (1 + 2 + + n) + n + 1 Ricordando che n (n + 1) 1 + 2 + + n = _______ 2 si ottiene: 1 +2 + +n = 2 2 2 (n + 1)3 n(n + 1) n + 1 = ______ _______ _____ = 3 2 3 3 2 + 3n + n 2n = ___________ = 6 n____________ (n + 1)(2n + 1) = 6 Questa è la formula che utilizziamo per An. Nel caso di an la utilizziamo sostituendo però a n il valore n 1. 208 O A b (n 1)b O x A b nb x Poiché la parabola ha equazione y = x2, i rettangoli inscritti hanno rispettiva area: 0 b b2 b 4b 2 b 9b 2 b (n 1)2b 2 mentre i rettangoli circoscritti hanno rispettiva area: b b2 b 4b 2 b 9b 2 b 16b 2 b n 2b 2 Le aree inscritte e circoscritte, indicate rispettivamente con an e An, sono quindi: a3 a n = b3(12 + 22 + +(n 1)2) = _3(12 + 22 + +(n 1)2) = n (n 1) n(2n 1) 12 + 22 + +(n 1)2 = _______________ come dimostriamo qui a lato. 6

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5