1 Sistemi di equazioni di primo grado Esaminiamo ora alcuni metodi algebrici per risolvere un sistema lineare in due incognite, a partire dai casi più semplici. 2.2 Il metodo di sostituzione Il metodo di sostituzione è quello più utilizzato per risolvere i sistemi di equazioni perché può essere applicato nelle situazioni più diverse: sarà possibile applicarlo anche quando considereremo sistemi lineari di più equazioni in più incognite e anche quando vorremo risolvere sistemi con equazioni di grado superiore al primo. FISSA I CONCETTI Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite può avere: Q una sola soluzione (determinato) Q infinite soluzioni (indeterminato) Q nessuna soluzione (impossibile) KEYWORDS K m metodo di sostituzione / replacement method Procedura: 1. esplicitiamo soltanto una delle due equazioni (quella che appare più semplice) rispetto a una incognita, per esempio rispetto a y; 2. sostituiamo l espressione così trovata all incognita y nell altra equazione; 3. otteniamo, in questo modo, un equazione nella sola incognita x e la risolviamo; 4. sostituiamo a x il valore trovato nell equazione inizialmente esplicitata determinando in questo modo anche il valore della y; 5. la coppia di numeri (x ; y) così trovata è la soluzione del sistema. Risolviamo, per esempio, il sistema: 2x + 3y + 4 = 0 {4x y = 1 1. Esplicitiamo la seconda equazione rispetto a y: ATTENZIONE! A 2x + 3y + 4 = 0 {y = 4x 1 2. Sostituiamo l espressione così trovata per y nella prima equazione: 2x + 3(4x 1) + 4 = 0 { y = 4x 1 L scelta dell incognita da La esplicitare si effettua, se possibile, tra quelle che hanno come coefficiente 1 o 1, in modo che risulti più facile sia la forma esplicita dell equazione sia la successiva sostituzione. 3. La prima equazione ha ora la sola incognita x; la possiamo perciò risolvere: 2x + 12x 3 + 4 = 0 {y = 4x 1 14x + 1 = 0 {y = 4x 1 1 x = _ 14 { y = 4x 1 4. Sostituiamo ora il valore trovato per x nella seconda equazione (quella riscritta inizialmente in forma esplicita); otteniamo: 1 _ 14 x = 1 y = 4 _ 1 ( 14) x = 1 _ 14 2 y = _ 1 7 1 9 La soluzione del sistema è perciò ( _ ; _) 7 14 1 = _ 14 9 y = _ 7 x PROVA TU P V Verifica la soluzione ottenuta sostituendola in una delle equazioni del sistema. Che cosa ottieni? 7