1 Sistemi di equazioni di primo grado 1.1 Le equazioni di primo grado in due incognite Una equazione che può essere scritta come un polinomio di primo grado uguagliato a zero, è detta di primo grado. Se le sue incognite sono x e y, la sua forma generale è: ax + by + c = 0 con a, b, c R Questa scrittura si dice forma implicita dell equazione di primo grado in due incognite. KEYWORDS K forma implicita / implicit form fo esempio O Riconosci tra le seguenti equazioni quelle di primo grado e riscrivile in forma implicita. a. 2x 3xy = 5y + 1 L equazione non è di primo grado perché compare il monomio 3xy che ha grado 2. b. 2x 3y = 7y + 1 di primo grado. Usando il principio di equivalenza otteniamo la sua forma implicita che è: 2x 10y 1 = 0. c. 3x 2y2 + 1 = 0 Non è di primo grado perché compare il monomio 2y2 che è di secondo grado. di primo grado. La sua forma implicita è: 3x y 5 = 0. d. y = 3x 5 Una equazione scritta in forma implicita può essere scritta in forma esplicita (esplicitata) rispetto a una delle incognite (per esempio la y). Utilizzando infatti il principio di equivalenza, può essere scritta nella forma y = esempio O Riscrivi le seguenti equazioni in forma esplicita, prima rispetto a x poi rispetto a y. a. 4x 2y + 3 = 0 Per esplicitare rispetto a x, applichiamo il principio di equivalenza prima aggiungendo 2y a sinistra e a destra del predicato =, poi sottraendo 3 e infine dividendo da entrambe le parti per 4: 4x 2y + 3 + 2y 3 = +2y 3 4x = 2y 3 4x 2y 3 4x 2y 3 1 3 _ = _ _ _ = _ _ x = _y _ 2 4 4 4 4 4 42 4 Per esplicitare rispetto a y, applichiamo il principio di equivalenza: sottraiamo 4x e 3 a sinistra e a destra del predicato =, poi dividiamo per 2: 4x 2y + 3 4x 3 = 4x 3 2y = 4x 3 2y 2 4x 3 3 2y = 4x + 3 ___ = ___ + _ y = 2x + _ 2 2 2 2 FISSA I CONCETTI Q b. 3x + y 1 = 0 Esplicitiamo rispetto a x: 3x = y + 1 Esplicitiamo rispetto a y: y = 3x + 1 1 1 x = _y _ 3 3 Q Ogni soluzione di una equazione in due incognite è una coppia ordinata di numeri reali che sostituiti alle variabili la trasformano in una proposizione vera. Forma implicita di una equazione di primo grado in due incognite: ax + by + c = 0 5