Competenze in gioco Divisione della circonferenza Su un foglio, disegna, con il compasso, una circonferenza di centro O e raggio 4 cm e due suoi diametri perpendicolari AC e BD. Hai così diviso la circonferenza in quattro parti uguali. Puoi ora, facilmente, inscrivere un quadrato ABCD. Disegna ora, sempre servendoti del compasso, quattro semicirconferenze, aventi per centro il punto medio di ciascun lato del quadrato, per raggio metà del lato ed esterne al quadrato stesso. Hai ottenuto una specie di quadrifoglio. B A O C Con costruzioni analoghe alla precedente, disegna altre figure decorative in circonferenze divise in 6 e in 8 parti uguali. Descrivi in breve il procedimento di costruzione. Fin dall antichità, i matematici hanno cercato di risolvere il problema della divisione della circonferenza (detto problema della ciclotomia). Carl Friedrich Gauss (1777-1855), a soli 24 anni nel 1801, stabilì la risoluzione matematica che da secoli si andava cercando. Egli, infatti, dimostrò che, con la riga e con il compasso, è possibile dividere la circonferenza in n parti, dove, nella scomposizione di n, compaiono solo i numeri primi del tipo 2m + 1, oppure dove n è una potenza di 2. Poiché, fino a oggi, i soli numeri primi della forma 2m + 1 che si sono trovati sono: 2, 3, 5, 17, 257, 65 537 ne deriva che i poligoni regolari che sappiamo costruire sono solo quelli il cui numero di lati si ottiene: a. considerando uno dei numeri precedenti, naturalmente maggiori di 2 non esistendo un poligono con 2 lati; b. moltiplicando fra loro due o più numeri dei precedenti; c. moltiplicando uno dei numeri di cui alle lettere a e b per una potenza del 2 (vedi nel paragrafo 2 dell unità 8 il teorema di Gauss-Wantzel). D Così possiamo dividere la circonferenza in 51 parti (3 17) o in 20 parti (22 5), ma non, per esempio, in 14, in 9 o in 23 parti. Osserva i disegni, riproduzioni di alcuni scudi di guerrieri, scolpiti su monumenti funerari (stele daunie) del VII-VI secolo a.C. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Indica, per ognuno, in quante parti è divisa la circonferenza. I numeri così ottenuti rientrano nel caso a, nel caso b o nel caso c dell osservazione precedente? 469