10 Calcolo delle probabilità Con il metodo di calcolo precedente otteniamo: FISSA I CONCETTI 2 1 2 1 prob(BB) = _ _ = _ = _ 5 4 20 10 6 2 3 3 prob(BC) = _ _ = _ = _ 5 4 20 10 6 3 3 2 prob(CC) = _ _ = _ = _ 5 4 20 10 6 3 2 3 prob(CB) = _ _ = _ = _ 5 4 20 10 Q Q 3 6 3 prob(BC o CB) = _ + _ = _ 10 10 10 Q Q 3.2 La probabilità condizionata Q In entrambi i modelli dell urna (con reimmissione o senza) la seconda estrazione avviene dopo che si è ricevuta e registrata l informazione relativa al colore della prima pallina estratta, dopo cioè che si è verificato il primo evento. Eventi indipendenti: il verificarsi dell uno non modifica la probabilità del verificarsi dell altro. Eventi dipendenti: il verificarsi dell uno modifica la probabilità del verificarsi dell altro. L estrazione con reimmissione costituisce il modello per lo studio di eventi tra loro stocasticamente indipendenti. prob(E1 e E2) = prob(E1) prob(E2) E1 ed E2 sono indipendenti. L estrazione senza reimmissione costituisce il modello per lo studio di eventi tra loro stocasticamente dipendenti. DEFINIZIONE Si dice probabilità condizionata di un evento B rispetto a un evento A, e si scrive prob(B|A), la probabilità di B, nell ipotesi che si sappia che l evento A si è già verificato. KEYWORDS K p probabilità condizionata / conditional probability Gli eventi sono sottoinsiemi dell insieme U dei casi possibili: A U B Sapere che l evento A si è già verificato fa restringere l insieme dei casi possibili al solo sottoinsieme corrispondente ad A. Perciò prob(B|A) si ricava come rapporto tra il numero degli elementi di A B e il numero degli elementi di A: #(A B) prob(B|A) = ____________ #A (1) D altra parte, sappiamo che: #(A B) prob(A e B) = ____________ #U #A prob(A) = _ #U dal loro rapporto otteniamo: #(A B) ____________ A e B prob ( ) #(A B) #U _ = ____________ = ____________ #A prob(A) #A _ #U (2) Dalle uguaglianze (1) e (2) otteniamo pertanto: prob(A e B) prob(B|A) = _ prob(A) Da questa formula se ne ricava un altra che permette di calcolare la probabilità di un evento congiunto: prob(A e B) = prob(A) prob(B | A) APPROFONDIMENTO A T formula è anche detta Tale teorema della moltiplicazione. Poiché potrebbe essere B il primo evento considerato, la formula può anche essere scritta in quest altro modo: prob(A e B) = prob(B) prob(A|B) 393