DATI E PREVISIONI 2.3 La disgiunzione: prob(A o B) Consideriamo ora eventi composti attraverso la disgiunzione o e calcoliamone la probabilità. La probabilità prob(A o B) della disgiunzione di due o più eventi è anche detta probabilità totale. A B U Per esempio, dal lancio di un dado consideriamo gli eventi: A = «esce un numero pari B = «esce un numero maggiore di 4 A o B = «esce un numero pari o maggiore di 4 1 1 In questo caso è: A = {2, 4, 6} e prob(A) = _ ; B = {5, 6} e prob(B) = _. 2 3 I casi per i quali risulta vera la proposizione A o B sono quelli appartenenti al sottoinsieme A B = {2, 4, 5, 6} e perciò: 4 2 prob(A o B) = _ = _ 6 3 Quando, come in questo esempio, due eventi A e B non sono incompatibili, ci sono casi favorevoli a entrambi. Tali casi sono allora contati sia nel calcolo di prob(A) sia in quello di prob(B); considerando la somma prob(A) + prob(B), essi sarebbero contati due volte. Per questo motivo, il valore di prob(A o B) si ottiene sottraendo a tale somma i casi comuni già contati, corrispondenti a prob(A e B). Così, nell esempio, in cui A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}: 1 A B = {6} e prob(A e B) = _ 6 Abbiamo perciò: 1 1 1 2 prob(A o B) = _ + _ _ = _ 2 3 6 3 In generale: prob(A o B) = prob(A) + prob(B) prob(A e B) Poiché prob(A e B) = 0 se e solo se i due eventi sono incompatibili, abbiamo: prob(A o B) = prob(A) + prob(B) A e B sono tra loro incompatibili esempio O Calcola la probabilità dei seguenti eventi, nell estrazione di un numero nel gioco della tombola: A = «si estrae un multiplo di 25 B = «si estrae un multiplo di 15 Calcola quindi prob(A o B). FISSA I CONCETTI prob(A o B) = = prob(A) + prob(B) prob(A e B) prob(A o B) = prob(A) + prob(B) A e B sono tra loro incompatibili 390 I numeri estraibili sono in tutto 90 (da 1 a 90). L evento A è l insieme dei multipli di 25 minori o uguali a 90, cioè A = {25, 50, 75}. 3 Perciò: prob(A) = _ 90 L evento B è l insieme dei multipli di 15 minori o uguali a 90, cioè 6 B = {15, 30, 45, 60, 75, 90}. Perciò: prob(B) = _ 90 1 Poiché A B = {75} e prob(A e B) = _, abbiamo: 90 3 6 1 8 4 prob(A o B) = _ + _ _ = _ = _ 90 90 90 90 45