10 Calcolo delle probabilità 2.2 La congiunzione: prob(A e B) Nell insieme U dei casi possibili, consideriamo due eventi rispettivamente definiti dalle proposizioni A e B. L evento definito dalla proposizione composta (A e B) è rappresentato dall intersezione dei due sottoinsiemi di U in cui risulta vera A e risulta vera B. Se, per esempio, nel lancio di un dado consideriamo: A = «esce un numero pari B = «esce un numero maggiore di 3 il sottoinsieme A B rappresenta l evento: A e B = «esce un numero pari e maggiore di 3 La probabilità dell evento A e B è data dal rapporto tra la cardinalità di A B e la cardinalità di U: A B U #(A B) prob(A e B) = ____________ #U Nell esempio abbiamo A B = {4, 6} e quindi: 2 1 prob(A e B) = _ = _ 6 3 La probabilità prob(A e B) della congiunzione di due o più eventi è anche detta probabilità composta. KEYWORDS K p probabilità composta / compound probability Può accadere che due eventi non possano verificarsi simultaneamente. In tale caso i due eventi sono tra loro incompatibili e i sottoinsiemi di U da essi identificati sono disgiunti, avendo intersezione vuota. Questo è, per esempio, ciò che si verifica, nel lancio di un dado, quando si considerano i due eventi: A = «esce un numero pari = {2, 4, 6} B = «esce un numero dispari = {1, 3, 5} In tali situazioni abbiamo: A B= prob(A e B) = 0 esempio O Quali delle seguenti coppie di eventi sono tra loro incompatibili? Calcola, in ciascuno dei casi, prob(A e B). a. Nell esito scolastico di fine anno: A = «essere promosso ; B = «essere non ammesso alla classe successiva b. Nel gioco della roulette: A = «esce il rosso ; B = «esce un numero pari c. Nell estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte: A = «esce una figura ; B = «esce un asso a. I due eventi sono incompatibili e prob(A e B) = 0. b. Il gioco della roulette ha 37 numeri (dallo 0 al 36) di cui 18 rossi e 18 neri 9 (lo 0 non ha colore). I numeri rossi e pari sono 9, per cui prob(A e B) = _ 37 I due eventi non sono incompatibili. c. Gli assi non sono figure e nessuna figura è un asso. Perciò i due eventi sono incompatibili e prob(A e B) = 0. FISSA I CONCETTI Q Q # (A B) prob(A e B) = ____________ # U Due eventi si dicono incompatibili quando la loro intersezione è vuota e, quindi, prob(A e B) = 0 389