ARITMETICA E ALGEBRA In questo modo otteniamo: n _ n _ n _ bn 1 bn 1 bn 1 a a a_ ______________ _ _ _ _ = a _ _ = = n n n n b bn b b bn 1 esempio ATTENZIONE! A Q Quando è possibile scomporre il radicando come potenza di un numero, la razionalizzazione che permette il calcolo più veloce, consiste nel moltiplicare per un fattore avente lo stesso indice del radicale e per radicando un numero con la stessa base e esponente uguale alla differenza tra l indice e l esponente del radicale. ATTENZIONE! A ((a + b )(a b ) = a 2 b 2 O Razionalizza il _denominatore delle seguenti espressioni. _ 5 5 3 3 3_ _ _=_ a. _ = _ 5 5 5 5 3 _ _ 3 22_ _ 3 4 3_ ____________ _ b. _ = = 3 3 2 3 2 2 2 2 5 3 _ _ _ 22 _ 5 4 5 4 5_ _ 5_ _ _ c. _ = = 5_ =_ 5 5 3 5 2 2 8 2 2 25 5 5 II. Denominatore contenente una somma o una differenza di due termini di cui almeno uno sia un radicale quadratico. 3 _ Consideriamo, per esempio, l espressione: _ 2 + 3 Qui, a differenza dei casi dell esempio precedente, il radicale non è un fattore del denominatore, bensì un addendo. Per far scomparire la radice al denominatore, ricordando il prodotto notevole della somma di due termini per la loro_differenza, occorre moltiplicare il numeratore e il denominatore per (2 3); il denominatore si trasforma così in una espressione che non contiene radici: _ _ _ 3(2 3) 3 2 3 3 _ _=_ _ _ _ = ____________ = 3 2 3 ( ) 4 3 2 + 3 2 + 3 2 3 In generale, se al denominatore c è una somma (o una differenza) di due termini, di cui almeno uno è un radicale quadratico, moltiplichiamo numeratore e denominatore per la loro differenza (o per la loro somma), in modo che il denominatore diventi una differenza di due quadrati. Abbiamo, infatti: _ _ _ _ _ _ _ _ b c ______________ ___________ _ a _ = ________ _ a _ ________ _ _=a b a c b c b + c b + c b c b + c ______________ ___________ _ a _ = ________ _ a _ ________ _ _=a b+a c b c b c b c b + c FISSA I CONCETTI Razionalizzazione del denominatore: trasformazione di una frazione in una equivalente il cui denominatore_ non contenga radicali. a b a_ _ Q _ = b b _ n 1 a b a_ _ Q _ = n b b _ _ a( b c) a ___________ ______________ _ _= Q b c b c n 360 esempio O Razionalizza il denominatore delle seguenti espressioni. _ _ _ 3( 3 + 4) 3( 3 + 4) 3 + 4 ____________ _3 _3 _ a. _ = ____________ =_ _ = 3 16_ 13_ 3 4 3 4 3 + 4 _ _ 2(5 3) 2(5 3) 5 3 3 5 2 2 _ =_ _ _ _ = ____________ = ____________ = _ b. _ 25 3_ 22 _ 11 5 + 3 5 + 3 5 3 _ _ _ _ 2( 5 + 3) 2( 5 + 3) 5 + 3 ______________ _ 2 _ = ___________ _ 2 _ ___________ _ _= c. ___________ = ______________ = 5 3 2 5 3 5 3 5 + 3 _ _ = 5 + 3