7 Poligoni e aree Con quale procedura geometrica possiamo costruire la circonferenza circoscritta a un triangolo qualunque? 1. Dato il triangolo ABC tracciamo i rispettivi assi dei lati. Abbiamo che: Q ogni punto dell asse del lato AB è equidistante da A e B; Q ogni punto dell asse del lato AC è equidistante da A e C; Q ogni punto dell asse del lato BC è equidistante da B e C. C A 2. I tre assi si intersecano allora necessariamente in un solo punto O, che è equidistante dai tre vertici A, B, C. Questo è il centro della circonferenza circoscritta. O PROVA TU B Circonferenza circoscritta con GeoGebra DEFINIZIONE Il centro della circonferenza circoscritta a un triangolo è il punto di intersezione degli assi del triangolo: tale punto è detto circocentro del triangolo. KEYWORDS K circocentro / circumcenter ci Con quale procedura geometrica possiamo costruire la circonferenza inscritta in un triangolo qualunque? 1. Ricordando che ogni punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai 2. Per la proprietà transitiva, le tre bisettrici si intersecano in un solo lati dell angolo, determiniamo anche il centro della circonferenza inscritta in punto O che risulta equidistante dai un triangolo. Infatti, dato il triangolo ABC e considerate le bisettrici di tre lati. Questo punto è il centro ognuno degli angoli abbiamo che: Q la bisettrice dell angolo in A è equidistante dai lati AB e AC; della circonferenza inscritta nel Q la bisettrice dell angolo in B è equidistante dai lati AB e BC; triangolo. Q la bisettrice dell angolo in C è equidistante dai lati AC e BC. A O B PROVA TU C DEFINIZIONE Il centro della circonferenza inscritta in un triangolo è il punto di intersezione delle bisettrici del triangolo: esso è detto incentro del triangolo. Circonferenza inscritta con GeoGebra KEYWORDS K incentro / incentre in Le costruzioni della circonferenza circoscritta a un triangolo qualsiasi e di quella in esso inscritta (vedi le procedure precedenti) costituiscono la dimostrazione del seguente teorema. TEOREMA 48 Ogni triangolo ha una circonferenza inscritta e una circonferenza circoscritta. Approfondisci Dimostrazione del teorema 48 267