6 Cerchi e circonferenze a. Ogni punto appartenente all asse del segmento AB è equidistante dai suoi estremi. P A M B Ip: AM MB, PM AB Ts: AP PB I due triangoli AMP e MBP sono congruenti per il primo criterio di congruenza (LAL). Infatti, per ipotesi, abbiamo: Q AM MB; Q A MP B MP (perché retti); Q PM in comune. Sono dunque tra loro congruenti anche i lati AP e PB. b. Ogni punto equidistante dagli estremi del segmento AB appartiene al suo asse. Ip: AP PB, AM MB Ts: PM AB I due triangoli AMP e MBP sono congruenti per il terzo criterio di congruenza (LLL). Infatti, abbiamo: ATTENZIONE! A D coppie di punti sono Due equidistanti se e solo se i segmenti che li hanno come estremi sono congruenti: d (A, B) = d (A , B ) AB A B . Spesso, perciò, useremo la notazione più semplice della congruenza. B P M A AM MB (perché M è il punto medio di AB); AP PB (per ipotesi); Q PM in comune. Q Q MP e B MP sono tra loro congruenti e, essendo supplemenAllora gli angoli A tari, sono entrambi retti: quindi, P appartiene all asse. c.v.d. esempio O Già sappiamo che in un triangolo isoscele la mediana, l altezza e la bisettrice relative alla base coincidono (teorema 20). Dimostra che l asse relativo alla base di un triangolo isoscele coincide con la mediana. L asse è anche mediana. Infatti, dato il triangolo isoscele ABC di vertice A, l asse relativo alla base BC è la perpendicolare a BC passante per il punto medio M di BC. A tale asse necessariamente appartiene il vertice A, perché tale vertice, essendo il triangolo isoscele, è equidistante dai vertici B e C (fig. a.). La mediana è anche asse. Infatti, condotto il segmento AM dal vertice del triangolo al punto medio M del lato BC, esso risulta essere anche altezza del triangolo e quindi AM è perpendicolare a BC nel suo punto medio (fig. b.). a. A B M C asse b. B A M C mediana 231