Strumenti B Un problema con Wolfram Alpha In molti test si trovano quesiti come il seguente: Individua il successivo termine della sequenza: 5, 9, 13, 17, Come possiamo usare Wolfram Alpha per risolvere un problema di questo tipo? Nell esempio è piuttosto semplice individuare il criterio con cui si susseguono gli elementi: ogni numero, a partire da 5, è ottenuto dal precedente addizionando 4. Una formula per trovare l n-esimo termine è pertanto: p(n) = 4n + 1. Infatti: p(1) = 4 1 + 1 = 5 p(2) = 4 2 + 1 = 9 p(3) = 4 3 + 1 = 13 Vogliamo risolvere il problema nel caso generale: dati alcuni termini, cerchiamo, se esiste, una formula espressa come un polinomio che permetta di calcolare tutti i termini successivi della sequenza. Cerchiamo cioè un polinomio p(n) che, per ogni n N, fornisca l n-esimo termine. In generale, se il grado di p(n) è k scriviamo: p(n) = aknk + + a2n2 + a1n + a0 Dobbiamo determinare il valore dei k + 1 coefficienti incogniti a0, a1, , ak, cioè risolvere un problema con k + 1 incognite. Nel caso dell esempio precedente, che supponiamo non risolto, devono risultare vere le uguaglianze: p(1) = 5 p(2) = 9 p(3) = 13 Dobbiamo quindi risolvere il seguente sistema, in cui le incognite sono a0, a1, a2: p(1) = 5 p(2) = 9 p(3) = 13 a 0 + a 1 1 + a 2 12 = 5 a 0 + a 1 2 + a 2 22 = 9 a 0 + a 1 3 + a 2 32 = 13 un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, lo risolviamo seguendo la procedura mostrata precedentemente (sostituendo a0, a1, a2 rispettivamente a x, y, z); Wolfram Alpha fornisce la soluzione: a0 = 1, a1 = 4, a2 = 0. Il polinomio che genera la sequenza di numeri è quindi, come già visto, p(n) = 4n + 1. Tale legge non costituisce però l unica soluzione. Come hai potuto sperimentare risolvendo il precedente sistema di 3 equazioni in 3 incognite, Wolfram Alpha è in grado di risolvere sistemi di n equazioni in n incognite scrivendole sempre di seguito separate da una virgola. PROVA TU Per ognuna delle seguenti sequenze di numeri, utilizza Wolfram Alpha per individuare un polinomio generatore e utilizzalo per determinare il termine che segue nella successione. 4. 4, 11, 18, 25, 5. 9, 20, 71, 216, 533, 6. 2, 1, 6, 13, 7. 135, 351, 513, 135, 351, 21