5 Quadrilateri TEOREMA 24 (proprietà del parallelogramma) In ogni parallelogramma: a. ognuna delle diagonali individua due triangoli congruenti; C b. i lati opposti sono congruenti; D c. gli angoli opposti sono congruenti; d. le diagonali si intersecano O nel loro punto medio. A Ip: ABCD parallelogramma Ts: a. ABC ACD, ABD BCD b. AB CD, AD BC c. A BC C DA, D AB B CD d. AO OC, BO OD B Il teorema precedente esprime delle proprietà che sono caratteristiche del parallelogramma. Il seguente fornisce dei criteri per riconoscere se un quadrilatero è un parallelogramma. TEOREMA 25 (criteri per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma) Un quadrilatero è un parallelogramma se è verificata una delle seguenti condizioni: a. il quadrilatero ha i lati opposti congruenti. b. il quadrilatero ha gli angoli opposti congruenti. c. le diagonali del quadrilatero si intersecano nel loro punto medio. Approfondisci Dimostrazione del teorema 24 Dimostrazione del teorema 25 esempio O Considera la definizione di parallelogramma e i teoremi 24 e 25; stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere. a. Per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma è sufficiente dimostrare che ha due lati tra loro paralleli. No, non è sufficiente dimostrare che ha due lati paralleli; occorre dimostrare che tutti i lati sono a due a due paralleli, come da definizione. Infatti un quadrilatero con due lati paralleli è soltanto un trapezio. b. Condizione sufficiente affinché un quadrilatero sia un parallelogramma è che le sue diagonali si taglino a metà. vera. una riformulazione del teorema 25c. c. Per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma è necessario dimostrare che ha i lati opposti paralleli e congruenti. No, è sufficiente dimostrare che ha i lati opposti paralleli (come da definizione) oppure che ha i lati opposti congruenti (criterio fornito dal teorema 25a). Non è necessario dimostrare ambedue le condizioni. d. Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha i lati opposti congruenti. vera. Unisce in una sola proposizione il teorema 24b e il teorema 25a. e. In un parallelogramma le diagonali sono bisettrici degli angoli. No, nessun teorema afferma ciò. In generale, le bisettrici degli angoli di un parallelogramma non coincidono con le sue diagonali, come è evidente nella figura, in cui sono tratteggiate le D C diagonali di un parallelogramma (AC e BD) e disegnate con tratto continuo le e B. rispettive bisettrici dei due angoli A A B APPROFONDIMENTO A P dimostrare che un quadrilatero Per è un parallelogramma è sufficiente dimostrare che ha una coppia di lati opposti paralleli e congruenti. Tracciando una diagonale possiamo dimostrare che i due triangoli in cui rimane diviso il trapezio sono congruenti per il primo criterio di congruenza. FISSA I CONCETTI Q Q Q Parallelogramma: quadrilatero con i lati opposti paralleli. Un quadrilatero che ha ogni lato con gli angoli adiacenti supplementari è un parallelogramma. Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha i lati opposti congruenti. 189