GEOMETRIA Abbiamo pertanto una prima conseguenza. APPROFONDIMENTO A L somma degli angoli interni di un La qualunque quadrilatero convesso è data dal prodotto del numero dei lati 2 per un angolo piatto: somma = 180°(n 2) è quindi congruente a un multiplo di angolo piatto. Nell esagono: 180°(6 2) = 4 angoli piatti nel pentagono: 180°(5 2) = 3 angoli piatti e così via TEOREMA 23 La somma degli angoli interni di ogni poligono con n lati è congruente a n 2 angoli piatti. Dimostrazione Come abbiamo visto nell esempio precedente ogni poligono di n lati si ripartisce in n 2 triangoli. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (teorema 16), di tali angoli ne avremo n 2. c.v.d. Lo studio della congruenza tra poligoni si riduce pertanto allo studio della congruenza dei triangoli e per tale motivo i criteri di congruenza dei triangoli hanno un ruolo così importante. Possiamo inoltre dare la seguente definizione. DEFINIZIONE Due poligoni sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tutti i loro lati e tutti i loro angoli. Se è vero che due poligoni congruenti possono essere ripartiti in triangoli congruenti, non è però vero necessariamente il viceversa: triangoli congruenti possono unirsi in modo diverso, formando così poligoni non congruenti. Il seguente esempio mostra un caso, evidenziando così come l avverbio ordinatamente è essenziale nella definizione di poligoni congruenti. ESEMPIO O Nella figura abbiamo: A B AB, A C AC, B C BC, B D CD, C D BD A A B C D C B D a. I triangoli ABC e A B C sono congruenti? Sì, ABC A B C per il terzo criterio di congruenza (LLL). b. I triangoli BCD e B C D sono congruenti? Sì, BCD B C D per il terzo criterio di congruenza (LLL). c. I poligoni ABDC e A B D C sono congruenti? I poligoni ABDC e A B D C non sono congruenti perché, seguendo il confronto su lati consecutivi, a partire dal vertice C , C A CA, A B AB, ma B D non è congruente a BD, né D C è congruente a DC. Come nei triangoli, inoltre, la congruenza di tutti gli angoli non è sufficiente a stabilire la congruenza di due poligoni con più di tre lati: due poligoni con tutti gli angoli ordinatamente congruenti possono non essere congruenti, come mostrato in figura. 186