4 La retta nel piano cartesiano Abbiamo trovato due tipi di equazioni per le rette: x=k (rette parallele all asse y) y = mx + q (rette grafico di una funzione lineare) I due tipi possono essere riassunti in un unica formula, una equazione di primo grado in due incognite, detta equazione generale della retta: ax + by + c = 0 con a, b, c R e non tutti nulli KEYWORDS K e equazione generale della retta / general form equation of the line Infatti: 1. se a 0 e b = 0, otteniamo: c x = __ a c _ ponendo = k, l equazione diventa x = k e rappresenta una retta parallela a all asse delle ordinate; ax + 0y + c = 0 ax + c = 0 2. se b 0, possiamo esplicitare l equazione rispetto alla y: ax + by + c = 0 by = ax c a c y = __ x __ b b Ponendo: a _ = m (coefficiente angolare) b c (termine noto) _ = q b l equazione può essere riscritta come funzione lineare y = mx + q. Per esempio, nell equazione 2x 6 = 0 abbiamo: a = 2, b = 0, c = 6. L equazione può essere riscritta come 2x = 6 x = 3. La retta di equazione x = 3 è parallela all asse y (fig. a.). y 1 O 1 x a. La retta disegnata in figura b. è, invece, parallela all asse x. Il suo coefficiente angolare è perciò m = 0 e, poiché la retta interseca l asse y nel punto (0 ; 1), il termine noto è q = 1. La sua equazione è allora: y = 0x 1 y = 1 che può essere scritta come y + 1 = 0. In essa: a = 0, b = 1, c = 1. APPROFONDIMENTO A N piano cartesiano è stabilita Nel una stretta corrispondenza tra oggetti geometrici (le rette) e oggetti algebrici (le equazioni di primo grado in due incognite). Ricorreremo quindi a espressioni quali: Q la retta di equazione ax + by + c = 0 per indicare la retta formata da tutti e soli i punti le cui coordinate sono soluzioni dell equazione: ax + by + c = 0; Q l equazione della retta r, per indicare la formula che lega tra loro le coordinate di tutti e soli i punti della retta r. Q Tale corrispondenza (tra oggetti geometrici e oggetti algebrici) è anche nota con il termine geometria analitica. y 1 O 1 x b. 139