Scheda 7 - Scomposizione in fattori di un polinomio

Scheda 7 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI Scomporre in fattori un polinomio significa trovare dei polinomi, diversi da 1, che, moltiplicati tra loro, danno come prodotto il polinomio stesso. esempio Il polinomio 4 a4 b 2 a3 b2 4 a2 b3 + 2a b4 non è scomposto in fattori ma può essere scritto nella forma: 2ab(a + b)(a b)(2a b) Infatti, eseguendo queste moltiplicazioni si riottiene il polinomio iniziale. Utilizzare le tecniche conosciute Non tutti i polinomi sono scomponibili e non è immediato riconoscere il tipo di scomposizione da utilizzare. Raccoglimento a fattore comune Per scomporre un polinomio si mette in evidenza il fattore di grado massimo comune a tutti i termini (il MCD). Il MCD tra i monomi 2ax + 2ay è 2a. Poi si divide ogni monomio per il MCD: 2ay 2ax = x e ____ ____ =y 2a 2a Applicando la proprietà distributiva al contrario si scrive: 2a(x + y) Raccoglimento a fattore parziale A volte si può applicare la proprietà distributiva soltanto a parti del polinomio e, successivamente, raccogliere di nuovo un eventuale fattore comune. 48 esempio 4 a4 b 2 a3 b2 4 a2 b3 + 2a b4 Si determina il MCD dei termini: MCD(4 a4b, 2 a3 b2, 4 a2 b3, 2a b4) = 2ab Si divide ciascun termine del polinomio per il MCD: 4 a2 b3 4 a4 b = 2a3 _ _ = 2a b2 2ab 2ab 3 2 2 a b _ = a2 b 4 2a b = b3 _ 2ab 2ab La scomposizione è: 2ab(2 a3 a2 b 2a b2 + b3) esempio 2 a3 a2 b 2a b2 + b3 Si può mettere in evidenza a2 tra il primo e il secondo termine e b2 tra il terzo e il quarto: = a2(2a b) b2(2a b) = Poiché i due termini hanno in comune (2a b), si raccoglie di nuovo e si ottiene: = (2a b)(a2 b2)