GEOMETRIA Equazione di una parabola con asse parallelo all asse y Vogliamo ora generalizzare la situazione precedente e determinare l equazione di una parabola che abbia come fuoco un punto qualunque del piano e come direttrice una retta parallela all asse delle ascisse. Il vertice di tale parabola deve essere il punto medio tra il fuoco e la direttrice e, quindi, noti fuoco e direttrice, è possibile determinare le sue coordinate. La retta perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco e il vertice, è l asse di simmetria della parabola che risulta quindi parallelo all asse delle ordinate. y V O x Abbiamo dimostrato (unità 3 par. 4) che ogni funzione del tipo y = ax2 + bx + c con a, b, c R e a 0 ha come grafico una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate e il cui vertice ha coordinate b b2 4ac V _ ; ___________ . Abbiamo inoltre visto che è sempre possibile determina( 2a 4a ) re una traslazione del piano in modo tale che al vertice della parabola corrisponda l origine del sistema di riferimento. Tale traslazione è determinata dal vettore v = ( xV ; yV) e le sue equazioni sono: x = x x V {y = y y V La parabola corrispondente nella traslazione ha vertice nell origine e l asse delle ordinate come asse di simmetria con equazione del tipo y = ax 2 in cui le coor1 1 dinate del fuoco sono F(0 ; _) e la direttrice ha equazione y = _. 4a 4a Sostituendo nelle equazioni della traslazione a x e y le coordinate di F otteniamo le coordinate del fuoco nel sistema di riferimento cartesiano Oxy: xF = xV 1 _ {y F = y V + 4a 1 in modo analogo otteniamo l equazione della direttrice: y = yV _ 4a ATTENZIONE! A C (xV ; yV) indichiamo le Con coordinate del vertice V della parabola. In generale quindi abbiamo visto come da informazioni di tipo geometrico su una parabola (il fuoco e la direttrice, oppure il vertice) possiamo ricavare la sua equazione e, viceversa, come, data una equazione y = ax2 + bx + c è possibile ricavare tutte le principali caratteristiche geometriche della parabola corrispondente. Esse sono riassunte nella seguente tabella. Equazione della parabola Asse di simmetria y = ax2 + bx + c b x = _ 2a Vertice b b2 4ac _ ; ___________ 4a ) ( 2a Fuoco Direttrice 1 _ (x V ; y V + 4a) 1 y = yV _ 4a Equazione di una parabola con asse parallelo all asse x y O 424 x Se scambiamo tra loro le variabili x e y di una equazione, nella corrispondente rappresentazione geometrica viene effettuata la simmetria rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante. Ne segue che: una equazione del tipo x = ay2 + by + c rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle ascisse. Per esempio, data la parabola di equazione y = x2 5x + 4, vogliamo determinare l equazione della sua simmetrica rispetto alla bisettrice del I e III quadrante del riferimento e disegnare entrambe le parabole. Per ottenere l equazione della parabola simmetrica rispetto alla retta y = x, è sufficiente scambiare tra loro, nell equazione, le variabili x e y. Otteniamo: x = y2 5y + 4.